Алексей Викторович Пенской

Дополнительные главы геометрии

Экзаменационное задание для домашнего экзамена.

В данном курсе мы рассмотрим некоторые применения векторных расслоений и характеристических классов.

Данный курс задуман как продолжение стандартного курса дифференциальной геометрии, для понимания достаточно базовых знаний из дифференциальной геометрии, кое-что будет вкратце повторено (см. раздел 0 программы).

Программа курса

0. Краткое напоминание: векторные расслоения и конструкция Чженя-Вейля характеристических классов.

1. Начала K-теории: группа Гротендика абелевой полугруппы с единицей, К-группа многообразия, К-группа с компактным носителем, характер Чженя с компактным носителем.

2. Дифференциальные операторы на сечениях векторных расслоений. Символ оператора. Эллиптические операторы. Топологический и аналитический индекс оператора. Теорема Атьи-Зингера (без доказательства). Пример: оператор d+d*, теорема Гаусса-Бонне и теорема Хирцебруха как следствия теоремы Атьи-Зингера.

В зависимости от оставшегося времени, мы постараемся рассмотреть и следующие сюжеты:

3. Гармонические формы. Теорема Ходжа.

4. Алгебра Клиффорда, спиноры и спинорная структура, оператор Дирака.

5. Электромагнитное поле, калибровочные поля и связности в расслоениях. Уравнение и функционал Янга-Миллса, инстантоны. Связь с характеристическими классами. Функционалы Чженя-Саймонса, Ландау-Гинзбурга.