На главную страницу НМУ

Алексей Викторович Пенской

Спектральная геометрия

Условия экзамена

Совместный с мех-матом МГУ спецкурс (для 2-4 курса).
Читается на мех-мате (ауд 14-02 ГЗ МГУ, четверг 18:30-20:00).

Спектральная геометрия - современная и интенсивно развивающаяся область математики, находящаяся на стыке дифференциальных уравнений с частными производными, дифференциальной геометрии и анализа, которая изучает связь между геометрией области с одной стороны и спектром оператора Лапласа и собственными функциями оператора Лапласа с другой стороны.

По-видимому, первым вопросом спектральной геометрии был заданный лордом Рэлеем в его знаменитой книге «Теория звука» вопрос о том, какой должна быть форма мембраны барабана, чтобы среди мембран той же площади она издавала звук самой низкой частоты. Во второй половине двадцатого века Марк Кац сформулировал другой известный вопрос: «Можно ли услышать форму барабана?». Ответы на этот и другие вопросы мы обсудим в данном курсе, а что еще более интересно - узнаем еще больше вопросов, на которые мы еще не знаем ответа.

Планируемая программа курса:

1. Оператор Лапласа, задачи Дирихле, Неймана и Стеклова, физический смысл.

2. Спектр простейших областей.

3. Вариационное описание собственных чисел оператора Лапласа.

4. Элементарные неравенства для собственных чисел, вилка Дирихле-Неймана.

5. Теорема Вейля и ее доказательство для областей в евклидовом пространстве. Гипотеза Вейля.

6. Доказательство Филонова неравенства Фридландера. Другие неравенства.

7. Нодальные области, нодальный граф, теорема Куранта о нодальных областях. Нодальная геометрия. Теоремы Плейеля и Брюнинга.

8. Сферическое перекладывание и доказательство неравенства Фабера-Крана.

9. Оператор Лапласа-Бельтрами на римановом многообразии. Связь собственных функций с минимальными поверхностями (теорема Такахаси).

10. Геометрическая оптимизация собственных чисел на поверхностях. Экстремальные метрики. Связь экстремальных метрик с минимальными поверхностями (теорема Надирашвили - Эль-Суфи - Илиаса).

11. Теорема Херша.

12. Максимизация собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами на конкретных поверхностях.