На главную страницу НМУ

Алексей Викторович Пенской

Семинар по спектральной геометрии

Совместный учебно-исследовательский семинар Независимого московского университета и российско-французского Междисциплинарного научного центра Понселе (Interdisciplinary Scientific Center J.-V. Poncelet, ISCP, UMI 2615)

В осеннем семестре 2019-2020 года продолжает работу совместный учебно-исследовательский семинар по спектральной геометрии Независимого московского университета и российско-французского Междисциплинарного научного центра Понселе (Interdisciplinary Scientific Center J.-V. Poncelet, ISCP, UMI 2615) под руководством А.В.Пенского.

28 декабря 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Равиль Габдурахманов (НМУ, НИУ ВШЭ, University of Leeds)
Тема: Разложения Ходжа-Морри и Фридрихса.

Аннотация:
Мы обсудим аналог разложения Ходжа для римановых многообразий с границей, построенный Морри (Morrey). В этом разложении одна из ортогональных компонент, гармонические поля, может быть ортогонально разложена двумя способами на пару подпространств. В одном случае конечномерная компонента этих разложений является гармоническими полями Дирихле, а в другом - гармоническими полями Неймана. Этот результат был получен Фридрихсом (Friedrichs). Далее мы получим изоморфизмы пространств гармонических полей Неймана и Дирихле с абсолютными и относительными когомологиями де Рама. После этого мы обсудим как разложение Ходжа-Морри-Фридрихса может быть использовано при решении некоторых краевых задач. Если останется время мы также обсудим аналог теорем де Рама для многообразий с границей, следуя статье Дафа (Duff).

Литература:

• G. Schwarz, "Hodge Decomposition - A Method for Solving Boundary Value Problems", Springer, 1995
• G. F. D. Duff, "Differential forms in manifolds with boundary", Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 56, No. 1 (Jul., 1952), pp. 115-127

21 декабря 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Семинар не состоится

14 декабря 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Денис Винокуров (НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Минимальные поверхности в трёхмерной сфере.

Аннотация:
В грядущем докладе планируется разобрать один из результатов, касающийся оценки на индекс минимальных поверхностей в сферах. А именно, если в трёхмерной сфере находится произвольная минимальная поверхность, которая не лежит ни в каком собственном подпространстве, то её индекс не может быть меньше 5, причем равенство достигается исключительно на торах Клиффорда

Литература:

• Urbano, Francisco, Minimal surfaces with low index in the three-dimensional sphere, Proc. A.M.S. Vol 4 (1990), 989-992.

7 декабря 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Семинар не состоится

30 ноября 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Артём Галкин (НИУ ВШЭ)
Тема: Нижние оценки объема нодальных областей

Аннотация:
Предлагается обсудить статью Колдинга, Миникоцци, в которой доказывается оценка снизу на объем нодальных областей собственных функций оператора Лапласа-Бельтрами в терминах собственных значений. Более подробно, известно, что объем нодальной области не превосходит \lambda ^ {(3-n) /4} с точностью до константы, где n - размерность риманового многообразия. Данный результат в некотором смысле дополняет известные оценки Яу, Брюнинга.

Литература:

• T. Colding, W. Minicozzi II, Lower bounds for nodal sets of eigenfunctions

25 ноября 2018 года (понедельник), 17:30-19:00, ауд.303
Докладчик: Алексей Обломков (Университет Массачусетса, Амхерст)
Тема: Особенности плоских кривых и инварианты узлов

Аннотация:
The link of a singularity at (0,0) of a plane curve {P(x,y)=0} \subset \mathbb{C}^2 is an intersection of a small three-sphere around (0,0) with the curve. These links are easy to classify and will explain the classification. In my talk I will explain how one can reconstruct knot invariants of the link of the curve singularity from the ring of functions on the curve. Talk is based on the joint results with Shende, Rasmussen and Yun.

23 ноября 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Никита Клемятин (НМУ, Сколтех, ВШЭ)
Тема: Оценка старших собственных чисел оператора Лапласа на кэлеровых многообразиях

Аннотация:
Я расскажу результат Герасима Кокарева, который обобщает теорему Бургиньона, Ли и Яу, о которой шла речь в прошлом докладе. Кокарев показал, как можно оценивать все собственные числа лапласиана на кэлеровых многообразиях, если данное многообразие допускает нетривиальное отображение в проективное пространство.

16 ноября 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Семинар не состоится

9 ноября 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Никита Клемятин (НМУ, Сколтех, ВШЭ)
Тема: Первое собственное число проективных многообразий

Аннотация:
В своем докладе, следуя работе Бургиньона, Ли и Яу, я расскажу, как можно оценить первое собственное число для проективных многообразий , т.е. для компактных комплексных кэлеровых многообразий, допускающих вложение в проективное пространство. Данная оценка является, в некотором смысле, обобщением теоремы Херша для сферы и теоремы Янга и Яу для римановых поверхностей.

2 ноября 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Семинар не состоится

26 октября 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Семинар не состоится

19 октября 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Артём Галкин (НИУ ВШЭ)
Тема: Минимизация собственных значений оператора Лапласа для задачи Дирихле среди областей с ограниченным диаметром

Аннотация:
Предлагается обсудить работу B. Bogosel, A. Henrot, I. Lucardesi, в которой доказывается существование решения задачи минимизации n-го собственного числа оператора Лапласа для задачи Дирихле среди всех евклидовых областей с ограниченным диаметром. Более подробно, известно, что минимум достигается на некоторой выпуклой области с постоянной шириной. Мы обсудим возникающие из геометрической теории меры пререквизиты и докажем теорему существования. Если позволит время, также предлагается обзорно обсудить плоский случай, в котором удается установить, что для некоторого набора 17-ти собственных значений диск является решением.

Литература:

• B. Bogosel, A. Henrot, I. Lucardesi, Minimization of the eigenvalues of the Dirichlet-Laplacian with a diameter constraint

12 октября 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Денис Винокуров (НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Основное эллиптическое уравнение минимального многообразия. Индекс минимальных торов в четырёхмерной сфере (продолжение доклада).

Аннотация:
Минимальность подмногообразия накладывает условия на его вторую фундаментальную форму, а именно она удовлетворяет двум системам дифференциальных уравнений первого и второго порядков. Если объёмлющее пространство имеет специальный вид, например является сферой, это позволяет делать некоторые выводы о геометрии погружённого подмногообразия. В оставшуюся часть времени планируется обсудить оценки на индекс минимальных торов в сферах.

Литература:

• Джеймс Саймонс, "Минимальные поверхности в римановых многообразиях", Математика, 16:6 (1972), 60-104; Ann. of Math., 88 (1968), 62-105.
• Rob Kusner, Peng Wang, On the index of minimal 2-tori in the 4-sphere, Preprint arXiv:1803.01615.

5 октября 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Семинар не состоится

28 сентября 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Денис Винокуров (НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Основное эллиптическое уравнение минимального многообразия. Индекс минимальных торов в четырёхмерной сфере.

Аннотация:
Минимальность подмногообразия накладывает условия на его вторую фундаментальную форму, а именно она удовлетворяет двум системам дифференциальных уравнений первого и второго порядков. Если объёмлющее пространство имеет специальный вид, например является сферой, это позволяет делать некоторые выводы о геометрии погружённого подмногообразия. В оставшуюся часть времени планируется обсудить оценки на индекс минимальных торов в сферах.

Литература:

• Джеймс Саймонс, "Минимальные поверхности в римановых многообразиях", Математика, 16:6 (1972), 60-104; Ann. of Math., 88 (1968), 62-105.
• Rob Kusner, Peng Wang, On the index of minimal 2-tori in the 4-sphere, Preprint arXiv:1803.01615.

21 сентября 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Денис Винокуров (НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Минимальные поверхности в римановых многообразиях.

Аннотация:
Будет изложена ставшая уже классической работа Джеймса Саймонса о минимальных поверхностях в римановых многообразиях.

Литература:

• Джеймс Саймонс, "Минимальные поверхности в римановых многообразиях", Математика, 16:6 (1972), 60-104; Ann. of Math., 88 (1968), 62-105.

14 сентября 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Родион Деев (New York University)
Тема: Теорема Шейна-Яу.

Аннотация:
Теорема Гаусса-Бонне даёт условие на топологию поверхностей, допускающих метрику с гауссовой кривизной того или иного знака. Для многообразий большей размерности кривизна уже даётся не числом, а 'маленьким чудовищем полилинейной алгебры' -- римановым тензором кривизны, о знаке которого говорить затруднительно. Тем не менее, имеет смысл говорить о положительности или отрицательности тех или иных его компонент -- секционной кривизны, скалярной кривизны, кривизны Риччи. Я собираюсь набросать доказательство теоремы Шейна-Яу, утверждающей, что многомерные торы и их разветвлённые накрытия не допускают метрик положительной скалярной кривизны. Оно опирается на красивые формулы, полезные при изучении минимальных поверхностей. Этому будет посвящена вторая часть доклада, а в первой я напомню, как понимать компоненты кривизны в геометрических терминах, и какие классические ограничения на топологию даёт их положительный или отрицательный знак.

7 сентября 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Михаил Карпухин (University of California, Irvine)
Тема: Геометрическая оптимизация собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами и индекс минимальных поверхностей.

Аннотация:
Оператор Лапласа-Бельтрами - канонический эллиптический оператор второго порядка, определенный на любом римановом многообразии. Задача нахождения оптимальных оценок для его собственных значений является классической задачей спектральной геометрии, восходящей к Хершу, Ли и Яу. Оказывается, что эта задача тесно связана с минимальными поверхностями в сферах. В настоящем докладе мы обсудим взаимосвязь собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами с фундаментальным инвариантом минимальной поверхности, его индексом нестабильности как критической точки функционала площади. Будут описаны приложения, среди которых полученные докладчиком оценки на индекс минимальных сфер, а также решение задачи геометрической оптимизации для всех собственных значений на проективной плоскости.

Литература:

• Mikhail Karpukhin, Index of minimal spheres and isoperimetric eigenvalue inequalities. Preprint arXiv:1905.03174.

Весна 2019:

8 июня 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, Université de Montréal)
Тема: Об инвариантах Надирашвили-Фридляндера поверхностей-II.

Аннотация:
Мы продолжим обсуждение инвариантов Надирашвили-Фридлендера поверхностей, в частности, мы обсудим поведение конформного спектра на пространстве модулей конформных структур поверхности. Для этих целей мы изучим основные факты из теории пространств модулей конформных структур, такие как компактификация Делиня-Мамфорда и лемма Маргулиса.

Литература:

• Mikhail Karpukhin, Vladimir Medvedev On the Friedlander-Nadirashvili invariants of surfaces. Preprint arXiv:1901.09443.

25 мая 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, Université de Montréal)
Тема: Об инвариантах Надирашвили-Фридляндера поверхностей.

Аннотация:
Пусть M - замкнутое гладкое многообразие. В 1999г Л.Фридляндер и Н.Надирашвили ввели новый дифференциальный инвариант I_1(M) используя первое нормализованное собственное значение оператора Лапласа-Бельтрами Δ_g римановой метрики g, беря супремум этого выражения в каждом конформном классе и затем беря инфимум по всем конформным классам. Аналогичным образом можно определить k-ый инвариант Надирашвили-Фридляндера используя k-ое собственное число оператора Δ_g. Совсем недавно в совместной статье М.Карпухина с докладчиком было показано, что для всякой ориентируемой поверхности, а также для неориентируемой поверхности M чётного рода I_k(M)=I_k(S^2). Этот результат обобщает результат Петридеса, рассмотревшего случай ориентируемых поверхностей и k=1. Ранее Надирашвили и Фридляндер предположили, что I_1(M)=I_1(S^2) для любой поверхности М, отличной от RP^2. Однако Карпухиным и докладчиком было показано, что I_k(M)>I_k(S^2) для всякой неориентируемой поверхности М нечётного рода. В своём докладе я попытаюсь объяснить основные шаги в доказательстве этой теоремы, а также дать возможное объяснение феномена различия инвариантов Надирашвили-Фридляндера между ориентируемыми и неориентируемы поверхностями, которое, по нашему предположению, находится в тесной связи с теорией кобордизмов.

Литература:

• Mikhail Karpukhin, Vladimir Medvedev On the Friedlander-Nadirashvili invariants of surfaces. Preprint arXiv:1901.09443.

18 мая 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Денис Винокуров (НМУ, НИУ ВШЭ)
Тема: Оценки оптимальных собственных чисел для задачи Робена на римановых многообразиях.

Аннотация:
Мы будем рассматривать первое собственное число задачи Робена с постоянным параметром для оператора Лапласа на многообразиях с гладкой границей. В случае положительного параметра будет получена точная нижняя оценка в терминах одномерной задачи, параметры которой будут определяться геометрией исходного многообразия, а именно: нижними оценками на кривизну Риччи самого многообразия и среднюю кривизну его границы, а также значением инрадиуса. В случаем отрицательного параметра полученная нижняя оценка станет верхней. Также планируется доказать монотонность первого собственного значения задачи Робена для класса так называемых революционных многообразий, который включает в себя, например, все многообразия постоянной секционной кривизны. Если останется время - обсудим асимптотику первого собственного значения для гиперболических шаров достаточно большого радиуса и, как следствие монотонности, неравенство типа МакКина для ограниченных областей в гиперболическом пространстве.

Литература:

• Alessandro Savo, Optimal eigenvalue estimates for the Robin Laplacian on Riemannian manifolds.

27 апреля 2019 года (суббота), 10:00-11:30, ауд.304
Докладчик: Равиль Габдурахманов (НМУ, НИУ ВШЭ, University of Leeds)
Тема: Определение анизотропной вещественно-аналитической проводимости по измерениям на границе.

Аннотация:
Доклад основан на одноименнной статье Ли и Ульмана 1989 года. Я начну с обзора основных результатов статьи. Расскажу про то, как анизотропная задача Кальдерона (задача определения проводимости по измерению тока на границе) эквивалентна задаче определения метрики на римановом многообразии по оператору Дирихле-Неймана на границе (в размерности 3 и выше). Объясню, почему это не работает в случае многообразий размерности 2. Далее я постараюсь дать более-менее подробное доказательство основной теоремы о восстановлении вещественно-аналитической метрики на многообразии размерности 3 и выше. Это доказательство делится на две части. В первой, при помощи специального разложения оператора Лапласа в произведение псевдодифференциальных операторов порядка 1, находится полный символ оператора Дирихле-Неймана. Это позволяет восстановить метрику и все её нормальные производные в каждой точке границы. Во второй части показывается, что для любых двух вещественно-аналитических метрик на многообразии, дающих один и тот же оператор Дирихле-Неймана, существует изометрический диффеоморфизм многообразия, тождественный на границе. В конце я приведу примеры, показывающие необходимость некоторых топологических ограничений на многообразие.

Литература:

• Lee J., Uhlmann G., Determining anisotropic real-analytic conductivities by boundary measurements, Comm. Pure Appl. Math. 42 (1989) 1097-1112..

20 апреля 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Артём Галкин (НИУ ВШЭ)
Тема: Неравенство Фабера-Крана и вариационные задачи с свободной границей-II (семинар был отменён)

Аннотация:
(Продолжение доклада) Предлагается обсудить доказательство неравенства Фабера-Крана для задачи Дирихле, сводя задачу минимизации первого собственного значения оператора Лапласа среди всех ограниченных областей фиксированного объема к некоторой вариационной задаче с свободной границей. Данный аргумент не опирается на технику, используемую в классическом доказательстве неравенства Фабера-Крана (сферические перекладывания и т.д.), и может быть обобщен для доказательства обобщенных изопериметрических неравенств Фабера-Крана/Сен-Венана для задачи Робена. По работе Букура и Фрейташа.

13 апреля 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Артём Галкин (НИУ ВШЭ)
Тема: Неравенство Фабера-Крана и вариационные задачи с свободной границей-I

Аннотация:
Предлагается обсудить доказательство неравенства Фабера-Крана для задачи Дирихле, сводя задачу минимизации первого собственного значения оператора Лапласа среди всех ограниченных областей фиксированного объема к некоторой вариационной задаче с свободной границей. Данный аргумент не опирается на технику, используемую в классическом доказательстве неравенства Фабера-Крана (сферические перекладывания и т.д.), и может быть обобщен для доказательства обобщенных изопериметрических неравенств Фабера-Крана/Сен-Венана для задачи Робена. По работе Букура и Фрейташа.

6 апреля 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Иван Солоненко (НИУ ВШЭ)
Тема: О неравенстве Янга-Яу на первое собственное число-II

Аннотация:
В прошлый раз мы кратко обсудили базовую теорию дивизоров на римановых поверхностях, определили оператор Шрёдингера и индекс голоморфного отображения римановой поверхности в сферу, сформулировали ключевую теорему про индекс и вывели из неё главный результат: неравенство Янга-Яу строго в родах выше 2. В этот раз мы обсудим доказательство ключевой теоремы. Для этого мы определим так называемые "многозначные разветвлённые минимальные погружения" римановых поверхностей в R^3, что даст нам альтернативное описание индекса. Затем мы сведём нашу теорему к утверждению про специальные дивизоры и докажем его с помощью теории Брилля-Нётера. Никаких дополнительных знаний не потребуется. Основные положения теории Брилля-Нётер я напомню.

Литература:

• Mikhail Karpukhin, On the Yang-Yau inequality for the first Laplace eigenvalue. Preprint arXiv:1902.03473.

23 марта 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Иван Солоненко (НИУ ВШЭ)
Тема: О неравенстве Янга-Яу на первое собственное число

Аннотация:
В 1980 году P. C. Yang и S. T. Yau доказали неравенство, ограничивающее первое собственное число оператора Лапласа-Бельтрами на замкнутой римановой поверхности в терминах рода и площади этой поверхности. Известно, что для родов 0 и 2 имеет место равенство, а для рода 1 неравенство строгое. В своей недавней статье М. Карпухин доказал, что для всех родов выше 2 неравенство тоже строгое. Докательство опирается на методы алгебраической геометрии (геометрия специальных дивизоров на римановых поверхностях) и теории минимальных поверхностей (оценки на индексы разветвлённых минимальных погружений). На этом докладе мы постараемся разобрать данное доказательство. Базовые вещи из теории дивизоров и линейных систем я напомню.

Литература:

• Mikhail Karpukhin, On the Yang-Yau inequality for the first Laplace eigenvalue. Preprint arXiv:1902.03473.

16 марта 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (мехмат МГУ)
Тема: Обзор результатов по оценкам собственных значений для сферических областей

Аннотация:
Я перечислю результаты, известные об оценках собственных значений задачи Неймана и Дирихле на сферических областях со ссылками на авторов. Углубляться в детали доказательств не планируется. Список используемой литературы прилагается.

Литература:

• D. Daners, A Faber-Krahn inequality for Robin problems in any space dimension. Mathematische Annalen. 335. 767-785. 10.1007/s00208-006-0753-8.
• D. Bucur; A. Giacomini, A Variational Approach to the Isoperimetric Inequality for the Robin Eigenvalue Problem
• Mark S. Ashbaugh; Howard A. Levine, Inequalities for Dirichlet and Neumann eingenvalues of the laplacian for domains on spheres.
• Mark S. Ashbaugh; Rafael D. Benguria, A Sharp Bound for the Ratio of the First Two Dirichlet Eigenvalues of a Domain in a Hemisphere of S^n
• Yi-Jung Hsu; Tai-Ho Wang, Inequalities between Dirichlet and Neumann eigenvalues for domains in spheres.
• A. Girouard; N. Nadirashvili; I. Polterovich, Maximization of the second positive Neumann eigenvalue for planar domains.
• Mark S. Ashbaugh; Rafael D. Benguria, A Sharp Bound for the Ratio of the First Two Dirichlet Eigenvalues of a Domain in a Hemisphere of Sn.

2 марта 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Артём Галкин (ВШЭ)
Тема: Изопериметрические/изодиаметрические оценки на k-ое собственное число задачи Робена с отрицательным спектральным параметром

Аннотация:
Предлагается обсудить недавний препринт Dorin Bucur, Simone Cito, в котором доказывается существование решения задачи максимизации k-го собственного числа задачи Робена с отрицательным спектральным параметром в классе всех ограниченных измеримых областей конечного периметра. В частности, отдельный интерес представляют собой изопериметрические и изодиаметрические оценки, включающие в себя неравенства в терминах объема/периметра и диаметра области соответственно. Мы обсудим возникающие из геометрической теории меры пререквизиты и докажем теорему существования.

Литература:

• D. Bucur, S. Cito, Geometric control of the Robin Laplacian eigenvalues: the case of negative boundary parameter

16 февраля 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (мехмат МГУ)
Тема: Точная оценка для первого ненулевого собственного числа на звездной области на сфере для задачи Стеклова

Аннотация:
Я расскажу про результат Шилы Вермы, который обобщает оценку Кутлера и Сигилито для собственных значений задачи Стеклова на плоских звездных областях. Результат заключается в сравнении собственного значения задачи Стеклова на сферической области и на геодезическом шаре определенного радиуса. Неравенство будет строгим для всех областей, отличных от геодезических шаров на сфере.

Литература:

• Sheela Verma, Bounds for the first non-zero Steklov eigenvalue.

Осень 2018:

26 декабря 2018 года (среда), 17:30-19:00, ауд.303
Докладчик: Иосиф Полтерович (Université de Montréal)
Тема: Спектральные асимптотики для задачи Стеклова на криволинейных многоугольниках / Spectral asymptotics for the Steklov problem on curvilinear polygons

Аннотация:
Асимптотическое поведение собственных значений и собственных функций задачи Стеклова на областях с негладкой границей значительно сложнее и интереснее, чем в случае гладких областей. В докладе будет объяснено, как вычислять точные спектральные асимптотики дла задачи Стеклова на криволинейных многоугольниках. В числе прочего, оказывается, что арифметические свойства углов неожиданным образом влияют на поведение собственных значений и собственных функций. Доклад основан на текущей совместной работе М. Левитиным, Л. Парновским и Д. Шером.

Abstract:
The asymptotic behavior of the Steklov eigenvalues and eigenfunctions on non-smooth domains is significantly more complex and more intriguing than on domains with smooth boundaries. In the talk we will explain how to compute precise spectral asymptotics for the Steklov problem on curvilinear polygons. In particular, it turns out that the behavior of the Steklov eigenvalues and eigenfunctions depends in a surprising way on the arithmetic properties of the angles at the corner points. The talk is based on a joint work in progress with M. Levitin, L. Parnovski and D. Sher.

15 декабря 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (мехмат МГУ)
Тема: Оценка для второго собственного числа Робена с отрицательным параметром. Связь с собственными числами Неймана и Стеклова.

Аннотация:
Мы обсудим работу Лагесена и Фрейташа в которой доказывается, что шар является единственным максимизатором для второго собственного числа Робена с отрицательным параметром на отрезке [-(n+1)/(nR); 0] среди областей с фиксированным объемом. Из этой оценки, в частности, будут следовать классические результаты Сёго и Вайнбергера о максимизации первого ненулевого собственного числа Неймана и первого собственного числа Стеклова среди областей с фиксированным объемом.

Литература:

• Pedro Freitas, Richard Laugesen, From Neumann to Steklov and beyond, via Robin: the Weinberger way

8 декабря 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Артём Галкин (ВШЭ)
Тема: Оценки для первого собственного числа оператора Робена-Лапласа с отрицательным параметром

Аннотация:
Предлагается обсудить оценки для первого собственного числа оператора Лапласа для задачи Робена, полученные в недавнем препринте D. Bucur, V. Ferone, C. Nitsch, C. Trombetti. А именно, среди всех выпуклых областей с фиксированным периметром, шар максимизирует первое собственное значение оператора Лапласа-Робена. Ключевое наблюдение основано на построении пробной функции путем "трансплантации" первой собственной функции для задачи Робена на шаре на линии уровня функции расстояния до границы области. Если позволит время, мы посмотрим, каким образом можно расширить имеющиеся оценки на более широкий класс областей и обсудим формулировки некоторых открытых вопросов.

Литература:

• D. Bucur, V. Ferone, C. Nitsch, C. Trombetti, A Sharp Estimate for the first Robin-Laplace eigenvalue with negative boundary parameter.
• P. R. S. Antunes, P. Freitas, D. Krejcirik, Bounds and extremal domains for Robin eigenvalues with negative boundary parameter

1 декабря 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Артём Галкин (ВШЭ)
Тема: Ядро теплопроводности, интегральный принцип максимума и оценки Ченга-Яу-Григоряна на k-ое собственное число оператора Лапласа-Бельтрами

Аннотация:
Ядро теплопроводности естественным образом возникает в качестве фундаментального решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в плоском случае. Также известно, что прямое уравнение Колмогорова для броуновского движения удовлетворяет уравнению теплопроводности. Подобного рода связь открывает простор для различного рода обобщений: например, используя оператор Лапласа-Бельтрами в качестве генератора полугруппы теплопроводности, можно переносить диффузионные процессы на произвольные римановы многообразия. С геометрической точки зрения, ядро теплопроводности на римановом многообразии, будучи построенным в качестве некоторого объекта по спектру оператора Лапласа-Бельтрами, сохраняет в себе достаточно тонкую информацию о внутренней геометрии многообразия. В докладе мы обсудим метод построения ядра теплопроводности на произвольном компактном римановом многообразии, интегральный принцип максимума, неравенство Дэвиса и получим оценки Ченга-Яу-Григоряна на k-ое собственное число оператора Лапласа-Бельтрами.

Литература:

• Alexander Grigor'yan, "Estimates of heat kernels on Riemannian manifolds"

24 ноября 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Иван Салтыков (МГУ)
Тема: О разветвленных минимальных погружениях поверхностей в сферы-III

Аннотация:
На этом докладе мы применим доказанную на предыдущих семинарах теорему о разветвленных изометрических минимальных погружениях поверхностей в сферы к случаю двумерного тора и бутылки Клейна. Будет показано, что максимум нормированного первого ненулевого собственного числа оператора Лапласа-Бельтрами достигается на гладкой римановой метрике для обеих поверхностей, а также рассмотрим эти максимальные метрики.

Литература:

• Donato Cianci, Mikhail Karpukhin, Vladimir Medvedev, On branched minimal immersions of surfaces by first eigenfunctions, arXiv:1711.05916

17 ноября 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Иван Солоненко (НИУ ВШЭ).
Тема: Минимальные диски со свободной границей в шарах постоянной кривизны-II

Аннотация:
В прошлый раз мы, следуя статье R. Schoen и A. Fraser, доказали, что минимальный диск со свободной границей в евклидовом шаре является вполне геодезическим, а следовательно, это обычный экваториальный диск. Более того, мы начали разбирать более общую ситуацию: как выглядят диски со свободной границей и параллельной средней кривизной в шарах постоянной кривизны (и разобрались с самой мучительной частью доказательства). В этот раз мы завершим этот разбор и покажем, что такой диск пусть и не обязательно вполне геодезичен, но вполне омбиличен и содержится в некотором трёхмерном вполне геодезическом подмногообразии. Как следствие, мы получим простые достаточные условия на вполне геодезичность минимальной 2-сферы в n-сфере.

Литература:

• Ailana Fraser, Richard Schoen, Uniqueness theorems for free boundary minimal disks in space forms, arXiv:1409.1632

10 ноября 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Иван Салтыков (МГУ)
Тема: О разветвленных минимальных погружениях поверхностей в сферы-II

Аннотация:
Мы продолжим доказательство утверждения, обобщающего теорему Montiel'a и Ros'а (которая гласит, что для любой конформной структуры на компактной поверхности существует не более одной метрики, допускающей изометрическое погружение в некоторую единичную сферу первыми собственными функциями оператора Лапласа) на случай метрик с коническими особенностями, индуцированных разветвленными минимальными погружениями. Если останется время, будет рассмотрено применение обобщенной теоремы к случаям двумерного тора и бутылки Клейна.

Литература:

• Donato Cianci, Mikhail Karpukhin, Vladimir Medvedev, On branched minimal immersions of surfaces by first eigenfunctions, arXiv:1711.05916

3 ноября 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Иван Солоненко (НИУ ВШЭ).
Тема: Минимальные диски со свободной границей в шарах постоянной кривизны

Аннотация:
Мы разберём статью Schoen и Fraser о минимальных дисках со свободной границей в шарах постоянной кривизны. В первую очередь, мы покажем, что такие диски с неизбежностью являются вполне геодезическими - это обобщение результата Nitsche (в нём это утверждение доказывается для трёхмерного евклидового шара). На самом деле, мы докажем более общий результат: если ослабить условие минимальности до параллельности средней кривизны, то диск будет вполне омбилическим и будет содержаться во вполне геодезическом трёхмерном подмногообразии. Как следствие, мы получим простые достаточные условия на вполне геодезичность минимальных 2-сфер в n-сфере.

Литература:

• Ailana Fraser, Richard Schoen, Uniqueness theorems for free boundary minimal disks in space forms, arXiv:1409.1632

27 октября 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Иван Салтыков (МГУ)
Тема: О разветвленных минимальных погружениях поверхностей в сферы

Аннотация:
В докладе мы обсудим обобщение теоремы Montiel'a и Ros'а (которая гласит, что для любой конформной структуры на компактной поверхности существует не более одной метрики, допускающей изометрическое погружение в некоторую единичную сферу первыми собственными функциями оператора Лапласа) на случай метрик с коническими особенностями, индуцированных разветвленными минимальными погружениями. Если останется время, будет рассмотрено применение обобщенной теоремы к случаям двумерного тора и бутылки Клейна.

Литература:

• Donato Cianci, Mikhail Karpukhin, Vladimir Medvedev, On branched minimal immersions of surfaces by first eigenfunctions, arXiv:1711.05916

6 октября 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: А.В.Пенской (МГУ, НИУ ВШЭ, НМУ, Центр Понселе).
Тема: минимальные поверхности со свободной границей и переопределенные граничные проблемы

Аннотация:
в докладе мы обсудим, что диффеоморфная кольцу минимальная поверхность со свободной границей в трехмерном шаре является катеноидом. Заодно мы обсудим связть между минимальными поверхностями со свободной границей и конусами со свободной границей, возникающими в однофазной проблеме. Основано на совместной работе с Н.Надирашвили.

29 сентября 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Иван Солоненко (НИУ ВШЭ).
Тема: Геометрия тотального пространства к касательному расслоению II

Аннотация:
На прошлом докладе были описаны геометрические структуры, возникающие на тотальном пространстве касательного расслоения к риманову многообразию (M, g), и было сформулировано, как они друг с другом связаны. В этот раз я собираюсь доказать большую часть сформулированных фактов (разумеется, напомнив их перед этим), явно описать локальные инварианты метрики Сасаки в терминах метрики базы, а также обсудить связь между спектрами операторов Лапласса на М и ТМ. Я в двух словах напомню определения прошлого доклада, поэтому для понимания будет достаточно знать, что такое горизонтальное распределение связности и геодезическое векторное поле.

22 сентября 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Иван Солоненко (НИУ ВШЭ).
Тема: Геометрия тотального пространства касательного расслоения к риманову многообразию

Аннотация:
Пусть (M, g) -- риманово многообразие. Риманова метрика g даёт сразу несколько геометрических структур на тотальном пространстве TM касательного расслоения к M. Во-первых, это метрика Сасаки -- риманова метрика на TM как на многообразии. Во-вторых, это геодезическое векторное поле и его поток \theta (локальный, вообще говоря; он называется геодезическим потоком). Помимо этого, музыкальный диффеоморфизм TM \to T*M позволяет взять обратный образ у канонических 1-формы и симплектической формы на T*M (тем самым, TM наделяется симплектической структурой). Наконец, не так сложно показать, что обратный образ указанной 1-формы даёт контактную структуру на единичном касательном расслоении SM. Поскольку все эти структуры построены с помощью одной и той же римановой метрики g, можно предположить, что они довольно тесно связаны. О том, как они связаны, и будет доклад. Например, мы покажем, что геодезическое векторное поле гамильтоново относительно указанной симплектической структуры, а его гамильтониан -- просто функция на TM, выдающая половину квадрата длины вектора. Также среди прочего мы покажем, что риманова и симплектическая структуры на TM согласованы, поэтому оно является почти кэлеровым. Не забудем мы обсудить и необходимые/достаточные условия интегрируемости соответствующей почти комплексной структуры (то есть когда TM кэлерово). Для понимания доклада желательно знание основ римановой и симплектической геометрии. Все необходимые определения (метрика Сасаки, каноническая симплектическая форма на кокасательном расслоении) я напомню. Если останется время, мы определим меру Лиувилля \mu на TM и SM, докажем её инвариантность относительно геодезического потока и обсудим условия эргодичности динамической системы (SM, \theta, \mu)

8 сентября 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Александр Петрович Веселов (МГУ и Loughborough University)
Тема: Теория Эрхарта: обзор и примеры

Аннотация:
Рассмотрим многогранник с вершинами в целочисленной решетке и посчитаем число точек решетки внутри его. Само по себе это число мало что говорит о многограннике, даже о его объеме. В начале 1960-х годов французский математик Эрхарт предложил считать точки во всех многогранниках, получающихся растяжением исходного в целое число k раз. Результат оказался многочленом от k (называемом теперь многочленом Эрхарта), обладающим целым рядом замечательных свойств.

Я расскажу об основных результатах теории Эрхарта (вместе с набросками доказательств) и продемонстрирую их на примерах.

Литература:

• M. Beck, S. Robins, Computing the Continuous Discretely, Springer, 2007.

28 августа 2018 года (вторник), 13:00-14:30, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, Université de Montréal)
Тема: Об инварианте Надирашвили-Фридляндера поверхностей

Аннотация:
Пусть (M,g) компактное n-мерное Риманово многообразие без края. k-ый инвариант Надирашвили-Фридляндера I_k(M) является родным братом инварианта \Lambda_k(M) и определяется как ИНФИМУМ по всем конформным классам супремума в данном конформном классе от \lambda_k(g)Vol^{n/2}(M,g), где \lambda_k(g) - k-ое собственное значение оператора Лапласа-Бельтрами метрики g и Vol(M,g) - объём метрики g на M. Метрики, на которых значение инвариантов Надирашвили-Фридляндера достигаются, таким образом, являются экстремальными. В докладе мы рассмотрим как устроен первый инвариант Надирашвили-Фридляндера I_1 на замкнутых поверхностях. Оказывается, что значение I_1 зависит от ориентируемости поверхности и её рода. Так, если поверхность \Sigma ореинтируема или не ориентируема, но нечётного рода, то I_1(\Sigma)=8\pi, причём значение инварианта не достигается никогда, за ислючением канонической метрики на двумерной сфере. Если же поверхность \Sigma не ориентируема четного рода, то 8\pi<I_1(\Sigma) \leq 12\pi. Доклад основан на совместной статье (готовится к печати) с М. Карпухиным.

Весна 2018:

23 июня 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Георгий Шуклин (НМУ)
Тема: Суперминимальные погружения римановых поверхностей в четырехмерную сферу

Аннотация:
Пусть f - минимальное погружение поверхности рода g в четырехмерную сферу. Если потребовать от f некоторого дополнительного условия (суперминимальности) минимальное погружение можно поднять до голоморфного вложениям в тотальное пространство твистерного расслоения. Суперминимальным поверхностям в точности будут соответствовать интегральные (комплексные) кривые горизонтального распределения на CP^3. Я расскажу работу Лоо, где строится контактное отображение из раздутия CP^3 в PT((CP^1)x(CP^1)), позволяющее описывать минимальные погружения ("общего положения") как пару рациональных функций одинаковой степени. В случае g=0 условие суперминимальности выполнено для любого минимального погружения и данная техника позволяет доказать, что неприводимые компоненты пространства гармонических отображений имеют комплексную размерности 2d+4, где d соответствующая степень.

13 июня 2018 года (среда), 17:30-19:00, ауд.303
Докладчик: Алексей Рухович (МГУ)
Тема: О кратчайших геодезических на плоских поверхностях с коническими особенностями-II

Аннотация:
На сфере с плоской метрикой с коническими особенностями можно рассмотреть кратчайшую геодезическую между двумя особыми точками. Длину этой геодезической рассмотрим как функцию на пространстве модулей плоских метрик с коническими особенностями. При заданном наборе дефектов углов в конических особенностях это пространство модулей, согласно результату W.P. Thurston'a, обладает естественной комплексной гиперболической метрикой. Форма объема этой метрики превращает пространство модулей в пространство с мерой. Доклад будет посвящен распределению введенной выше функции длины кратчайшей геодезической относительно этой меры на пространстве модулей. Я сформулирую основной результат --- рекуррентное соотношение на это распределение --- и расскажу идею его доказательства. Доклад основан на совместной работе с В. Черепановым и Н. Клемятиным.

9 июня 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Алексей Рухович (МГУ)
Тема: О кратчайших геодезических на плоских поверхностях с коническими особенностями-I

Аннотация:
На сфере с плоской метрикой с коническими особенностями можно рассмотреть кратчайшую геодезическую между двумя особыми точками. Длину этой геодезической рассмотрим как функцию на пространстве модулей плоских метрик с коническими особенностями. При заданном наборе дефектов углов в конических особенностях это пространство модулей, согласно результату W.P. Thurston'a, обладает естественной комплексной гиперболической метрикой. Форма объема этой метрики превращает пространство модулей в пространство с мерой. Доклад будет посвящен распределению введенной выше функции длины кратчайшей геодезической относительно этой меры на пространстве модулей. Я сформулирую основной результат --- рекуррентное соотношение на это распределение --- и расскажу идею его доказательства. Доклад основан на совместной работе с В. Черепановым и Н. Клемятиным.

2 июня 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Никита Клемятин (МГУ, ВШЭ)
Тема: Кручение Рейдемейстера и аналитическое кручение

Аннотация:
В 1935 году Рейдемейстер ввел новый топологический инвариант, который был назван им кручением и который позволил расклассифицировать трехмерные (а затем и произвольные) линзовые пространства. В частности этот инвариант позволил различать гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные линзовые пространства. В начале 70-х Рей и Зингер ввели новый инвариант римановых многообразий -- аналитическое кручение (называемое также кручением Рея-Зингера), которое строится по спектру оператора Лапласа с коэффициентами в плоском расслоении. Рей и Зингер показали, что этот инвариант не зависит от метрики и предположили, что для римановых многообразий эти инварианты совпадают. Эта гипотеза была доказана через несколько лет Мюллером (который опирался на более ранние работы Патоди) и Чигером. Я расскажу, как определяются оба этих инварианта, а также расскажу основные этапы доказательств инвариантности аналитического кручения и теоремы Чигера-Мюллера. Если останется время, то я кратко расскажу про линзовые пространства или про то, какие обобщения существуют у понятия аналитического кручения..

19 мая 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Родион Деев (NYU)
Тема: Изопериметрическое неравенство в пространствах Карно

Аннотация:
На многообразиях имеется класс метрик, называемых субримановыми. Они во всём подобны римановым, кроме того, что их метрический тензор обращается в бесконечность вне некоторого поля плоскостей. Они существенно отличаются от римановых, в частности, если субриманово многообразие билипшицево эквивалентно риманову, если только оно само риманово. Тем не менее, они бигёльдерово эквивалентны римановым, и некоторые факты классической геометрии имеют субримановы аналоги. Следуя обзору Пансю, я попытаюсь рассказать про изопериметрическое неравенство и неравенство Соболева в группах Карно -- субримановых аналогах евклидовых пространств.

12 мая 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Артём Галкин (ВШЭ)
Тема: Неравенство Бляшке-Сантало и гипотеза Малера для первого собственного числа-II

Аннотация:
Продолжение доклада. Объем Малера симметричного выпуклого тела - безразмерная величина, инвариантная относительно линейных преобразований и определяемая как произведение объемов исходного тела и объема его поляры. Классическое неравенство Бляшке-Сантало дает точную оценку сверху - объем Малера симметричного выпуклого тела не превосходит объема Малера евклидового шара единичного радиуса. Напротив, точная оценка снизу доказана лишь в очень ограниченном числе случаев для определенного класса выпуклых тел. Некоторой вариацией данного сюжета является задача о минимизации функционала \lambda_{1}(K)\lambda_{1}(\circ{K}) для первого собственного значения оператора Лапласа для задачи Дирихле. Используя классическое неравенство Бляшке-Сантало, можно доказать, что минимум данного функционала достигается на евклидовом шаре. Я планирую рассказать доказательство неравенства Бляшке-Сантало для первого собственного значения и осветить доказательство обратного неравенства Фабера-Крана для константы Чигера.

Литература:

• D. Bucur, I. Fragala, Blaschke-Santalo and Mahler inequalities for the first eigenvalue of the Dirichlet laplacian.
• D. Bucur, I. Fragala, Reverse Faber-Krahn and Mahler inequalities for the Cheeger constant.

28 апреля 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Артём Галкин (ВШЭ)
Тема: Неравенство Бляшке-Сантало и гипотеза Малера для первого собственного числа

Аннотация:
Объем Малера симметричного выпуклого тела - безразмерная величина, инвариантная относительно линейных преобразований и определяемая как произведение объемов исходного тела и объема его поляры. Классическое неравенство Бляшке-Сантало дает точную оценку сверху - объем Малера симметричного выпуклого тела не превосходит объема Малера евклидового шара единичного радиуса. Напротив, точная оценка снизу доказана лишь в очень ограниченном числе случаев для определенного класса выпуклых тел. Некоторой вариацией данного сюжета является задача о минимизации функционала \lambda_{1}(K)\lambda_{1}(\circ{K}) для первого собственного значения оператора Лапласа для задачи Дирихле. Используя классическое неравенство Бляшке-Сантало, можно доказать, что минимум данного функционала достигается на евклидовом шаре. Я планирую рассказать доказательство неравенства Бляшке-Сантало для первого собственного значения и осветить доказательство обратного неравенства Фабера-Крана для константы Чигера.

Литература:

• D. Bucur, I. Fragala, Blaschke-Santalo and Mahler inequalities for the first eigenvalue of the Dirichlet laplacian.
• D. Bucur, I. Fragala, Reverse Faber-Krahn and Mahler inequalities for the Cheeger constant.

14 апреля 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Равиль Габдурахманов (НМУ, НИУ ВШЭ)
Тема: Оценки на собственные числа оператора Лапласа-Бельтрами на многообразиях, использующие (слабо) конформный объем и L^2 норму средней кривизны-III

Аннотация:
Мы продолжим обсуждать результаты Герасима Кокарева об оценках на собственные числа оператора Лапласа-Бельтрами на многообразиях. В прошлый раз мы доказали теоремы об оценках на собственные числа, использующие (слабо) конформный объём. В этот раз я приведу доказательство теоремы, специализирующей общий случай на (неориентируемые) поверхности и позволяющей оценивать собственный числа в терминах рода ориентирующего накрытия. Далее мы перейдем к результатам Кокарева об оценках с использованием L^2 нормы средней кривизны. Я приведу необходимые факты и доказательства соответствующих результатов.

Литература:

• Gerasim Kokarev, Conformal volume and eigenvalue problems, arXiv:1712.08150.

7 апреля 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Равиль Габдурахманов (НМУ, НИУ ВШЭ)
Тема: Оценки на собственные числа оператора Лапласа-Бельтрами на многообразиях, использующие (слабо) конформный объем и L^2 норму средней кривизны-II

Аннотация:
Мы продолжим обсуждать результаты Герасима Кокарева об оценках на собственные числа оператора Лапласа-Бельтрами на многообразиях. В прошлый раз мы определили (слабо) конформный объем и обсудили использующие его результаты Кокарева. В этот раз я приведу доказательства обсуждавшихся ранее теорем, использующих конформный объем. Если останется время, я также приведу результаты, использующие L^2 норму средней кривизны, и расскажу, как получаются их доказательства.

Литература:

• Gerasim Kokarev, Conformal volume and eigenvalue problems, arXiv:1712.08150.

27 марта 2018 года (вторник), 17:30-19:00, ауд.309
Докладчик: Евгений Степанов (ПОМИ РАН)
Тема: От транспортных сетей к свободной границе в задаче об оптимальном подкреплении пластины

Аннотация:
Будет рассказано о нескольких внешне разнородных, но на самом деле связанных друг с другом задачах оптимизации формы, неизвестным в которых является кривая - замкнутое связное множество. Одна из таких задач - нахождение оптимальной транспортной или ирригационной сети, другая - задача об оптимальном подкреплении пластины заданной формы, закреплённой по краям и находящейся под воздействием заданной нагрузки. Будут обсуждаться топологические и геометрические свойства минимайзеров.

Литература:

• Antonin Chambolle, Jimmy Lamboley, Antoine Lemenant, and Eugene Stepanov, Regularity for the optimal compliance problem with length penalization. SIAM J. Math. Anal. 49 (2017), no. 2, 1166-1224.
• G. Buttazzo, A. Pratelli, S. Solimini, E. Stepanov. Optimal urban networks via mass transportation. Lecture Notes in Mathematics, 1961. Springer-Verlag, Berlin, 2009. x+150 pp. ISBN: 978-3-540-85.

17 марта 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Равиль Габдурахманов (НМУ, НИУ ВШЭ)
Тема: Оценки на собственные числа оператора Лапласа-Бельтрами на многообразиях, использующие (слабо) конформный объем и L^2 норму средней кривизны

Аннотация:
Я расскажу о недавних результатах Герасима Кокарева об оценках на собственные числа оператора Лапласа-Бельтрами на многообразиях. В своей работе он обобщает на произвольные собственные значения классические неравенства на первое собственное значение. В первом случае это оценки Рэйли 1977-го года, использующие L^2-норму средней кривизны. Во втором, оценки Ли-Яу 1982-го года и Эль Суфи-Илиаса 1986-го года, использующие конформный объем. Мы начнём с определения (слабо) конформного объема и некоторых его свойств. Далее мы посмотрим на полученные в работе результаты и их применение. В последней части я сначала приведу планы доказательств, а потом мы обсудим их детально.

Литература:

• Gerasim Kokarev, Conformal volume and eigenvalue problems, arXiv:1712.08150.

10 марта 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Монотонность первого собственного числа Стеклова на компактных поверхностях в зависимости от топологии

Аннотация:
Мы продолжим обсуждать результаты, связанные с первым собственным числом Стеклова на поверхностях, нормированным длиной границы. Речь снова пойдет об оценках монотонности в зависимости от рода и числа компонент границы, которые обобщают результат, обсуждавшийся в прошлый раз, в том числе для неориентируемых поверхностей. Доклад основывается на работе Петридеса и Маттиесена. Будет использована техника склеивания компонент границы похожая на ту, которую мы использовали в прошлый раз.

Литература:

• Henrik Matthiesen, Romain Petrides, Monotonicity results for the first Steklov eigenvalue on compact surfaces, arxiv:1801.06914

3 марта 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Максимальные метрики для первого собственного числа задачи Стеклова на поверхностях

Аннотация:
В докладе будут изложен результат, полученный Карпухиным: на поверхности произвольного рода g с k> 0 компонентами границы первое собственное значение Стеклова, нормированное длиной границы, достигается на гладкой метрике. В частности, существует минимальное разветвленное погружение поверхности со свободной границей в шаре.

Литература:

• M. Karpukhin, Maximal metrics for the first Steklov eigenvalue on surfaces, arxiv:1801.06914

24 февраля 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Иван Салтыков (МГУ)
Тема: Нижние оценки первого собственного числа магнитного оператора Лапласа (продолжение доклада)

Аннотация:
В докладе будут изложены полученные B. Colbois и A. Savo нижние оценки для первого собственного числа магнитного оператора Лапласа в случае риманова цилиндра с магнитным условием Неймана на границе. Будет установлена точная нижняя грань для первого собственного значения и рассмотрен случай, когда неравенство обращается в равенство. Также, если останется время, мы затронем случай плоской области, ограниченной двумя замкнутыми кривыми.

Литература:

• B. Colbois, A. Savo, Lower bounds for the first eigenvalue of the magnetic Laplacian, arXiv:1709.09506

17 февраля 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Иван Салтыков (МГУ)
Тема: Нижние оценки первого собственного числа магнитного оператора Лапласа

Аннотация:
В докладе будут изложены полученные B. Colbois и A. Savo нижние оценки для первого собственного числа магнитного оператора Лапласа в случае риманова цилиндра с магнитным условием Неймана на границе. Будет установлена точная нижняя грань для первого собственного значения и рассмотрен случай, когда неравенство обращается в равенство. Также, если останется время, мы затронем случай плоской области, ограниченной двумя замкнутыми кривыми.

Литература:

• B. Colbois, A. Savo, Lower bounds for the first eigenvalue of the magnetic Laplacian, arXiv:1709.09506

Осень 2017:

2 декабря 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Георгий Шуклин (НИУ ВШЭ)
Тема: Формула следа для гиперболических поверхностей

Аннотация:
Классическая теорема об униформизации утверждает, что любая компактная риманова поверхность рода g>1 реализуется как фактор верхней полуплоскости по Фуксовой группе, т. е. гиперболическая поверхность. Действие соответствующей Фуксовой группы на верхней полуплоскости позволяет построить по функции на полуинтервале некоторый интегральный оператор. Формула следа выражает след этого оператора, с одной стороны, через спектр оператора Лапласа, а с другой, через сумму по замкнутым геодезическим фиксированной длины. Я расскажу о классификации гиперболических поверхностей и докажу формулу следа. Далее мы обсудим различные следствия, возникающие из подстановок конкретных функций. Таким способом можно, например, получить закон Вейля или написать аналог функционального уравнения для дзета-функции Сельберга. Особенно интересным следствием является prime geodesic theorem - утверждение о асимптотике числа замкнутых геодезических фиксированной нормы. Удивительным образом асимптотика совпадает с распределением простых чисел, а более точный ответ выражается через нули дзета-функции Сельберга. Таким образом, имеется аналогия между замкнутыми геодезическими и простыми числами.

Литература:

• D. Borthwick, Introduction to Spectral Theory on Hyperbolic Surfaces.

25 ноября 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Семинар не состоится

18 ноября 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Артём Галкин (ВШЭ)
Тема: Задача Стеклова, оператор Дирихле-Неймана и неравенство для дзета-функции планарных областей (продолжение доклада)

Аннотация:
Будет рассказано о постановке задачи Стеклова для плоских областей, рассмотрены некоторые асимптотические свойства спектра в форме классических оценок, полученных Вейнстоком и Розенблюмом. Также мы рассмотрим дзета-функцию, ассоциированную с планарной областью и докажем неравенство, связывающее дзета-функцию области с классической дзета-функцией Римана и в некотором смысле обобщающее известные классические неравенства.

Литература:

• A. Jollivet, V.Sharafutdinov, An inequality for the zeta function of a planar domain.
• A. Girouard, L. Parnovski, I. Polterovich, D. Sher, The Steklov spectrum of surfaces: asymptotics and invariants.

11 ноября 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Артём Галкин (ВШЭ)
Тема: Задача Стеклова, оператор Дирихле-Неймана и неравенство для дзета-функции планарных областей

Аннотация:
Будет рассказано о постановке задачи Стеклова для плоских областей, рассмотрены некоторые асимптотические свойства спектра в форме классических оценок, полученных Вейнстоком и Розенблюмом. Также мы рассмотрим дзета-функцию, ассоциированную с планарной областью и докажем неравенство, связывающее дзета-функцию области с классической дзета-функцией Римана и в некотором смысле обобщающее известные классические неравенства.

Литература:

• A. Jollivet, V.Sharafutdinov, An inequality for the zeta function of a planar domain.
• A. Girouard, L. Parnovski, I. Polterovich, D. Sher, The Steklov spectrum of surfaces: asymptotics and invariants.

28 октября 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Переопределенные УРЧП в Римановой геометрии-VI

Аннотация:
В этот раз мы продолжим разбирать доказательство того факта, что изопараметрическая трубка является гармонической областью. Я повторю доказательство формулы, выражающей оператор Лапласа-Бельтрами через Лапласиан на подмногообразии, вектор средней кривизны и составляющую связности Леви-Чивиты в нормальном расслоении к подмногообразию. После этого я планирую четко сформулировать какие связи существуют между изопараметрическими поверхностями, гармоническими областями и изопараметрическими трубками. Потом я хотел бы кратко пояснить почему минимальные подмногообразия со свободной границей тоже являются гармоническими. Далее было бы логично перейти к повествованию про еще одну переопределенную задачу из УРЧП, которая тесно связана с уравнением теплопроводности. Про области, на которых будет существовать решение для такой задачи говорят, что они обладают свойством постоянного потока. Оказывается, что области, обладающие таким свойством, также являются идеальными теплораспределителями, а также являются гармоническими. Для аналитических метрик Алессандро Саво показал, что верен более сильный результат: области, обладающие свойством постоянного потока являются также изопараметрическими трубками вокруг минимального подмногообразия. В качестве завершения, я бы упомянул несколько слов про переопределенную задачу Стеклова.

Литература:

• Слайды третьей лекции Алессандро Саво.

21 октября 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Переопределенные УРЧП в Римановой геометрии-V

Аннотация:
В прошлый раз я закончил доклад на определении гармонических трубок. В этот раз я начну повествование с того факта, что любая гармоническая трубка является гармонической областью (т.е. на ней существует решение задачи Серэна). Гармонические трубки задают уже достаточно широкий класс областей (по сравнению с областями, которые получаются шевелением маленьких геодезических шаров, которые в каждой точке задают всего лишь однопараметрическое семейство). Но, как оказывается, этим класс гармонических областей не исчерпывается. Мы докажем, что любая минимальная гиперповерхность в евклидовом шаре, граница которой ортогональна шару (minimal free boundary hypersurface) является гармонической. Существуют ли другие примеры гармонических областей - до сих пор вопрос открытый.

После этого, если время останется, я планирую перейти к обсуждению задачи теплопроводности, идеальных теплопроводников (perfect heat diffusers) и многообразий, обладающих свойством постоянного потока (constant flow property). Окажется, что это свойство также тесно связано с гармоническими трубками. Мы получим, что гармонические трубки - области, на которых существует решение по меньшей мере трех переопределенных задач.

В самом конце, я хотел бы сказать пару слов про переопределенную задачу Стеклова.

Литература:

• Слайды третьей лекции Алессандро Саво.

14 октября 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Переопределенные УРЧП в Римановой геометрии-IV

Аннотация:
В прошлом докладе я доказал, что область в трехмерной сфере, ограниченная изометрически вложенным Клиффордовым тором, является гармонической, и показал, как эта конструкция обобщается на случай произвольной группы изометрий, транзитивно действующей на границе области. В этот раз я начну свое повествование с обобщения конструкции с Клиффордовыми торами на произвольную размерность. После этого я планирую показать, какая связь существует между минимальностью границы, постоянством ее главных кривизн и существованием решения переопределенной системы УРЧП в области. Если останется время, мы обсудим переопределенную задачу Стеклова и другие физически интересные переопределенные системы.

Литература:

• Слайды второй лекции Алессандро Саво.
• Слайды третьей лекции Алессандро Саво.

7 октября 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Переопределенные УРЧП в Римановой геометрии-III

Аннотация:
В третьем своем докладе я расскажу о том, какие гармонические области (области, допускающие решение задачи Серэна) появляются в пространствах постоянной кривизны. Особый интерес для нас будет представлять сферический случай. Это единственный случай, в котором появляется нетривиальные гармонические области (в остальных случаях это всего лишь геодезические шары). На сфере окажется, что Клиффордовы торы ограничивают гармонические области, которые не гомеоморфны шару. Но дело не ограничится лишь Клиффордовыми торами, и, чтобы найти новые гармонические области, мы коснемся изучения изопараметрических поверхностей, изучение которых было заложено такими гигантами как Сегрэ и Картан.

Литература:

• Слайды второй лекции Алессандро Саво.

30 сентября 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Переопределенные УРЧП в Римановой геометрии-II

Аннотация:
В этот раз я начну свой доклад с рассказа о переопределенной задаче Шиффера и ее связи с задачей Помпейю. Потом мы перейдем к рассмотрению задачи Серэна и на этом закончим свое знакомство с плоским случаем, плавно переходя к формулировке этой задачи для областей на многообразии. Так как задача является переопределенной, то ее решение существует не для всех областей, а только для тех, которые будут обладать "особой" геометрией. Такие области будут называться гармоническими. Мы докажем, что гармонические области на полусфере и пространстве Лобачевского будут совпадать с семейством геодезических шаров. В случае полной сферы ситуация становится намного интереснее. Оказывается, что область будет гармонической если она ограничена изопараметрической гиперповерхностью (главные кривизны являются постоянными). Если останется время, то мы обсудим более подробно геометрию таких областей.

Литература:

• Слайды второй лекции Алессандро Саво.

23 сентября 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Переопределенные УРЧП в Римановой геометрии-I

Аннотация:
Доклад подготовлен по материалам слайдов Алессандро Саво, которые он использовал во время чтения своего курса на конференции Geometric spectral theory в Невшателе 19-23 июня.

На первом докладе я расскажу о задаче, поставленной румынским математиком по имени Димитрие Помпею (1929). Кратко задача ставится так: пусть дана компактная область и непрерывная функция, определенная на всем пространстве. Причем функция обладает таким свойством, что ее интегралы по области и всем областям, полученным из данной посредством движений равен нулю. Правда ли, что тогда область является шаром?

У задачи Помпею есть несколько эквивалентных формулировок, одну из которых предложил Стефан Вильямс в 1976. Для этого нам придется обратиться к гипотезе Менахема Макса Шиффера, которая относится к переопределенной задаче Неймана.

Мы поговорим о том, что такое переопределенные задачи в целом, и разберем пару красивых доказательств, использующих изящный инструментарий геометрического анализа.

Литература:

• Слайды первой лекции Алессандро Саво.

16 сентября 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: А.В.Пенской (МГУ, НИУ ВШЭ, НМУ, ISCP)
Тема: Максимизация собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами на сфере

Аннотация:
В докладе будет изложены полученные этим летом совместно с М.Карпухиным, Н.Надирашвили и И.Полтеровичем результаты о максимизации собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами на сфере. Доказано, что с точностью до «выдувания» сфер нулевого объёма k-е ненулевое собственное число максимизируется на k касающихся сферах равного радиуса.

Литература:

• Mikhail Karpukhin, Nikolai Nadirashvili, Alexei V. Penskoi, Iosif Polterovich, "An isoperimetric inequality for Laplace eigenvalues on the sphere". Preprint arXiv:1706.05713.

Весна 2017:

29 апреля 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Максимизация первого собственного числа на поверхности рода два

Аннотация:
В докладе будет рассмотрено доказательство известной гипотезы Левитина-Надирашвили-Нигам-Полтеровича-Якобсона о максимизации первого собственного числа оператора Лапласа-Бельтрами на поверхности рода два при фиксированной площади. Доклад основан на работе Shin Nayatani, Toshihiro Shoda "Metrics on a closed surface of genus two which maximize the first eigenvalue of the Laplacian"

Литература:

• Shin Nayatani, Toshihiro Shoda, "Metrics on a closed surface of genus two which maximize the first eigenvalue of the Laplacian". Preprint arXiv:1704.06384.

22 апреля 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Денис Фуфаев (МГУ)
Тема: Максимизация первого собственного числа на замкнутых поверхностях

Аннотация:
Мы сделаем обзор доказательства того, что на любой замкнутой поверхности (в том числе неориентируемой) существует метрика с конечным числом конических особенностей, максимизирующая первое собственное число оператора Лапласа-Бельтрами при фиксированной площади. Доклад основан на работе Henrik Matthiesen, Anna Siffert, "Existence of metrics maximizing the first eigenvalue on closed surfaces"

Литература:

• Henrik Matthiesen, Anna Siffert, "Existence of metrics maximizing the first eigenvalue on closed surfaces" Preprint arXiv:1703.01264.

15 апреля 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Анастасия Викулова (МГУ)
Тема: Продолжение доклада «Задача Робена с отрицательным параметром»

Аннотация:
Этот доклад будет посвящен некоторым результатам для первого собственного числа задачи Робена. Мы попробуем выяснить, с какими проблемами можно столкнуться при доказательстве тех или иных неравенств для собственных чисел.

Литература:

• Pedro Antunes, Pedro Freitas, David Krejcirik, Bounds and extremal domains for Robin eigenvalues with negative boundary parameter. Preprint arXiv:1605.08161v1.
• Pedro Antunes and David Krejcirik, The first Robin eigenvalue with negative boundary parameter. Preprint arXiv:1403.6666v2.

8 апреля 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Анастасия Викулова (МГУ)
Тема: Продолжение доклада «Задача Робена с отрицательным параметром»

Аннотация:
Этот доклад будет посвящен некоторым результатам для первого собственного числа задачи Робена. Мы попробуем выяснить, с какими проблемами можно столкнуться при доказательстве тех или иных неравенств для собственных чисел.

Литература:

• Pedro Antunes, Pedro Freitas, David Krejcirik, Bounds and extremal domains for Robin eigenvalues with negative boundary parameter. Preprint arXiv:1605.08161v1.
• Pedro Antunes and David Krejcirik, The first Robin eigenvalue with negative boundary parameter. Preprint arXiv:1403.6666v2.

25 марта 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Анастасия Викулова (МГУ)
Тема: Задача Робена с отрицательным параметром

Аннотация:
Этот доклад будет посвящен некоторым результатам для первого собственного числа задачи Робена. Мы попробуем выяснить, с какими проблемами можно столкнуться при доказательстве тех или иных неравенств для собственных чисел.

Литература:

• Pedro Antunes, Pedro Freitas, David Krejcirik, Bounds and extremal domains for Robin eigenvalues with negative boundary parameter. Preprint arXiv:1605.08161v1.
• Pedro Antunes and David Krejcirik, The first Robin eigenvalue with negative boundary parameter. Preprint arXiv:1403.6666v2.

18 марта 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: А.И Назаров (ПОМИ РАН и СПбГУ)
Тема: Дробные лапласианы Навье и Дирихле

Аннотация:
Рассматриваются два естественных определения дробных лапласианов - «Навье» и «Дирихле». Мы покажем, что разность этих операторов положительна в смысле квадратичных форм и в поточечном смысле.

Доклад основан на совместных работах с R. Musina, Università degli Studi di Udine, Италия.

Литература:

• Roberta Musina, Alexander I. Nazarov. On fractional Laplacians. Preprint arXiv:1308.3606.
• Roberta Musina, Alexander I. Nazarov. On fractional Laplacians - 2. Preprint arXiv:1408.3568.

4 марта 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Михаил Карпухин (НМУ, McGill University)
Тема: Закон Вейля для рациональных бильярдов

Аннотация:
Многоугольник называется рациональным, если все его углы рационально кратны π. Согласно теореме Г. Мазура, в таких многоугольниках существует бесконечно много замкнутых бильярдных траекторий. В данном докладе, применяя метод волнового следа, мы используем теорему Мазура для получения оценки на остаточный член закона Вейля. Для понимания доклада предварительных знаний о волновом следе не требуется.

Литература:

• H. Masur, S. Tabachnikov, Rational Billiards and Flat Structures.
• Suresh Eswarathasan, Iosif Polterovich, John A. Toth. Smooth billiards with a large Weyl remainder. Preprint arXiv:1304.6440.

25 февраля 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Михаил Карпухин (НМУ, McGill University)
Тема: Задача Стеклова на формах: в поисках естественного определения

Аннотация:
В настоящий момент в литературе по спектральной теории общепринято определение задачи Стеклова на пространстве дифференциальных форм, введенное Роло и Саво. Тем не менее, это определение не имеет естественной геометрической или физической интерпретации. В настоящем докладе мы рассмотрим несколько возможных альтернатив, а также обсудим возможные приложения.

Литература:

• Vladimir Sharafutdinov, Clayton Shonkwiler. The complete Dirichlet-to-Neumann map for differential forms. Preprint arXiv:1011.1194.

18 февраля 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Райко Арсений (МГУ)
Тема: Большие собственные значения Стеклова на компактных многообразиях с фиксированной границей

Аннотация:
Будет рассказано о последнем результате Ахмада Эль Суфи, Бруно Кольбо и Александра Жируа по задаче Стеклова. Пусть b - число компонент границы многообразия M. Будет доказано, что с помощью конформного преобразования, тождественного на самой границе и вне некоторой окрестности границы, можно сделать b+1 собственное значение для задачи Стеклова сколь угодно большим.

Литература:

• Bruno Colbois, Ahmad El Soufi, Alexandre Girouard, Compact manifolds with fixed boundary and large Steklov eigenvalues. Preprint arXiv:1701.04125.

11 февраля 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Никита Клемятин (МГУ, НМУ)
Тема: Задача Стеклова на орбифолдах

Аннотация:
Я продолжу рассказывать про задачу Стеклова на орбиобразиях, в частности объясню как устроен спектр Стеклова на двумерных орбиобразиях, а также постараюсь рассказать про оценки сверху для собственных чисел и про изоспектральные орбиобразия размерности больше 2.

Литература:

• Teresa Arias-Marco, Emily B. Dryden, Carolyn S. Gordon, Asma Hassannezhad, Allie Ray, Elizabeth Stanhope, Spectral geometry of the Steklov problem on orbifolds Preprint arXiv:1609.05142.

Осень 2016:

17 декабря 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Никита Клемятин (МГУ, НМУ)
Тема: Задача Стеклова на орбифолдах (продолжение доклада)

Аннотация:
Мы продолжим разбирать задачу Стеклова: я продолжу рассказ о том, как устроен анализ на орбиобразиях и про асимптотику спектра Стеклова на двумерных орбиобразиях. Если останется время, то я расскажу про изоспектральные по Стеклову орбиобразия и про оценки сверху для спектра Стеклова.

Литература:

• Teresa Arias-Marco, Emily B. Dryden, Carolyn S. Gordon, Asma Hassannezhad, Allie Ray, Elizabeth Stanhope, Spectral geometry of the Steklov problem on orbifolds. Preprint arXiv:1609.05142.
• Bogdan Bucicovschi, Seeley's Theory of Pseudodifferential Operators on Orbifolds. Preprint arXiv:math/9912228.
• Spectral Geometry, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Vol. 84; AMS, 2012.
• I. Satake, On a Generalization of the Notion of Manifold, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, Vol. 42 (1956), No. 6 pp. 359-363.

10 декабря 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Никита Клемятин (МГУ, НМУ)
Тема: Задача Стеклова на орбифолдах

Аннотация:
Я расскажу про задачу Стеклова на орбифолдах и про связь геометрии и топологии риманова орбифолда связана с его спектром Стеклова. В частности будет разобран случай двумерных орбифолдов и получена асимптотика спектра Стеклова для них. Также я расскажу о верхних оценках на собственные числа в задачах Стеклова и Неймана на орбифолдах и расскажу про изоспектральные по Стеклову орбифолды. Все необходимые предварительные сведения будут сообщены.

Литература:

• Teresa Arias-Marco, Emily B. Dryden, Carolyn S. Gordon, Asma Hassannezhad, Allie Ray, Elizabeth Stanhope, Spectral geometry of the Steklov problem on orbifolds Preprint arXiv:1609.05142.

3 декабря 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Анастасия Викулова (МГУ)
Тема: Магнитный оператор Лапласа и оценки на собственные числа для условия Неймана (продолжение доклада)

Аннотация:
Мы продолжим разбирать статью Bruno Colbois и Alessandro Savo, попробуем доказать выдвинутые на прошлом семинаре теоремы, разберемся в определениях и рассмотрим некоторые примеры.

Литература:

• Bruno Colbois and Alessandro Savo, Eigenvalue bounds for the magnetic Laplacian. Preprint arXiv:1611.01930.

26 ноября 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Анастасия Викулова (МГУ)
Тема: Магнитный оператор Лапласа и оценки на собственные числа для условия Неймана

Аннотация:
На этом докладе мы рассмотрим обобщение известного нам оператора Лапласа, которое определяется с помощью связности на тривиальном комплексном расслоении для заданного многообразия с 1-формой. Попытаемся разобраться в некоторых свойствах магнитного оператора Лапласа, получить некоторые оценки на собственные числа, а также рассмотрим некоторые простейшие примеры нахождения собственных чисел.

Литература:

• Bruno Colbois and Alessandro Savo, Eigenvalue bounds for the magnetic Laplacian. Preprint arXiv:1611.01930.

19 ноября 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Сравнение первого ненулевого собственного числа Неймана на параллелограмме и прямоугольнике с одинаковым основанием

Аннотация:
Я расскажу о своем результате, полученном в ходе исследования задачи о нахождении супремума функционала произведения первого ненулевого собственного числа Неймана на квадрат периметра (задача Szego с более жесткой геометрической нормировкой). Я объясню, какие сложности возникают в этой задаче, покажу интересный контрпример, полученный численным моделированием, докажу некоторый промежуточный результат, объявленный в теме доклада. Будет использована только элементарная техника, навеянная теоремой Бояи-Гервина (Б.- Г.). Если останется время, я расскажу о том как естественно обобщить формулировку теоремы Б.-Г. для спектральной геометрии.

12 ноября 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Теорема Плейеля для собственных функций Неймана

Аннотация:
Теорема Плейеля (1956) утверждает, что неравенство Куранта может превратиться в равенство только для конечного числа собственных функций оператора Лапласа с условием Дирихле. Мы обсудим обобщение этого факта на случай граничных условий Неймана.

Литература:

• Corentin Léna, Pleijel's nodal domain theorem for Neumann eigenfunctions.

29 октября 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Никита Клемятин (МГУ)
Тема: Пространства гармонических отображений проективной плоскости и двумерной сферы в четырёхмерную сферу малых гармонических степеней

Аннотация:
Продолжение доклада прошлой недели по работе Равиля Габдурахманова.

Литература:

• Ravil Gabdurakhmanov, Spaces of harmonic maps of the projective plane to the four-dimensional sphere. Preprint arXiv:1610.05277.

22 октября 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Равиль Габдурахманов (НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Пространства гармонических отображений проективной плоскости и двумерной сферы в четырёхмерную сферу малых гармонических степеней

Аннотация:
Я кратко напомню теоремы Калаби, Барбосы и Брайанта о гармонических отображениях двумерной сферы в четырехмерную, кратко расскажу о конструкции твисторного расслоения, возникающей в теореме Брайанта. Следуя Болтону и Вудварду я дам определение высших особенностей и приведу некоторые факты о них. Затем я более детально расскажу о твисторном поднятии гармонических отображений, о связи пространства линейно-полных гармонических отображений и пространства линейно-полных горизонтальных голоморфных кривых в твисторном расслоении. После этого я расскажу о группах, действующих на этих пространствах и о том, как при помощи них гомотопировать произвольное отображение к некоторой канонической форме. А также докажу, что пространства гармонических отображений проективной плоскости в четырёхмерную сферу пусты при чётной степени. При помощи этого я найду канонические формы для степеней 3 и 5 и покажу линейную связность пространства гармонических отображений проективной плоскости в четырехмерную сферу степени меньше, чем 6. В заключении я приведу канонические формы для отображений двумерной сферы степеней 3, 4 и 5.

Литература:

• Ravil Gabdurakhmanov, Spaces of harmonic maps of the projective plane to the four-dimensional sphere. Preprint arXiv:1610.05277.

15 октября 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Анастасия Викулова (МГУ)
Тема: Оценки и экстремальные области для задачи Робена с отрицательным параметром

Аннотация:
Для задачи Дирихле и задачи Неймана мы знаем, что шар минимизирует первое собственное число в первом случае, и максимизирует во втором при фиксированном объеме. На этом докладе мы поговорим о задаче Робена с отрицательным параметром. Мы узнаем, что на плоскости диск максимизирует первое собственное число для задачи Робена при отрицательном параметре и фиксированном периметре. Также мы попробуем оценить первые собственные числа для многомерного шара и шарового слоя. Узнаем об оценке первого собственного числа. Поговорим подробнее об областях размерности 1 и посмотрим на некоторые открытые проблемы.

Литература:

• Pedro Antunes, Pedro Freitas, David Krejcirik, Bounds and extremal domains for Robin eigenvalues with negative boundary parameter. Preprint arXiv:1605.08161.

8 октября 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Никита Клемятин (МГУ)
Тема: Результат Маккина-Зингера о первых коэффициентах асимптотического разложения следа ядра теплопроводности

Аннотация:
Я расскажу результат Маккина и Зингера о вычислении первых коэффициентов асимптотического разложения следа ядра теплопроводности. Оказывается, что эти коэффициенты являются некоторыми полиномами от инвариантов метрики. Из этого, в частности, следует, что можно "услышать" эйлерову характеристику двумерного многообразия.

Литература:

• H. P. McKean, Jr. and I. M. Singer, Curvature and the eigenvalues of the Laplacian. J. Differential Geom., Volume 1, Number 1-2 (1967), 43-69. (Open access to a full-text PDF).

1 октября 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Анастасия Викулова (МГУ)
Тема: Восстановление треугольников с помощью тепловой энергии (heat content)

Аннотация:
В 1988 году Catherine Durso с помощью следа волнового ядра доказала, что треугольник однозначно восстанавливается по спектру задачи Дирихле. В 2013 году D. Griser и S. Maronna с помощью следа ядра теплопроводности доказали аналогичный факт. На докладе мы узнаем, что такое heat content, попробуем доказать, что с его помощью можно однозначно восстановить треугольник. И попробуем выяснить, как функция heat content связана со спектральном Дирихле.

Литература:

• Reed Meyerson, Patrick McDonald, Heat content determines planar triangles. Preprint arXiv:1607.03351.

24 сентября 2016 (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Спектр треугольников: оценки и гипотезы

Аннотация:
В эту субботу я повторю прошлогодний доклад об упорядочивании первых собственных чисел оператора Лапласа для смешанных граничных условий на треугольниках. Мы получим интересные результаты, используя исключительно элементарную технику. Доклад будет построен на статье B. Siudeja "On mixed Dirichlet-Neumann eigenvalues of triangles". Статья играет важную роль в текущих продвижениях по знаменитой hot spot conjecture. За подробностями обращайтесь к коллаборационному проекту polymath7.

Литература:

• B. Siudeja, On mixed Dirichlet-Neumann eigenvalues of triangles. Preprint arXiv:1501.07618.

17 сентября 2016 (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: А.В.Пенской (МГУ, НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Изопериметрическое неравенство для второго ненулевого собственного значения оператора Лапласа на проективной плоскости (продолжение доклада)

Аннотация:
Будет рассказано о полученных вместе с Н.С.Надирашвили результатах, касающихся второго собственного значения оператора Лапласа на проективной плоскости: 1) доказано, что кратность второго собственного числа не больше, чем 6; 2) доказано, что для метрики площади 1 собственное число не превосходит 20\pi, причем это значение может быть получено как предел на последовательнсти метрик, сходящихся к сингулярной метрике на проективной плоскости и сфере со стандартными метриками, касающихся в точке, таких, что отношение их площадей 3:2.

Литература:

• Nikolai S. Nadirashvili, Alexei V. Penskoi, Isoperimetric inequality for the second non-zero eigenvalue of the Laplace-Beltrami operator on the projective plane, Preprint arXiv:1608.07334.

10 сентября 2016 (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: А.В.Пенской (МГУ, НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Изопериметрическое неравенство для второго ненулевого собственного значения оператора Лапласа на проективной плоскости

Аннотация:
Будет рассказано о полученных вместе с Н.С.Надирашвили результатах, касающихся второго собственного значения оператора Лапласа на проективной плоскости: 1) доказано, что кратность второго собственного числа не больше, чем 6; 2) доказано, что для метрики площади 1 собственное число не превосходит 20\pi, причем это значение может быть получено как предел на последовательнсти метрик, сходящихся к сингулярной метрике на проективной плоскости и сфере со стандартными метриками, касающихся в точке, таких, что отношение их площадей 3:2.

Литература:

• Nikolai S. Nadirashvili, Alexei V. Penskoi, Isoperimetric inequality for the second non-zero eigenvalue of the Laplace-Beltrami operator on the projective plane, Preprint arXiv:1608.07334.

Весна 2016:

18 июня 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Александр Бердников (MIT, НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Топологические оценки на кратности собственных чисел Лапласиана на поверхностях

Аннотация:
Я расскажу о небольшом улучшении оценок Надирашвили на кратности собственных чисел Лапласиана (или уравнения Шрёдингера, или задачи Стеклова) на поверхностях с краем. Классическая оценка использует теорему Берса для конструкции собственной функции с нулём большой кратности (пропорциональной кратности собстенного значения), а затем оценивает, когда соответствующий нодальный граф может быть реализован на данной поверхности (с числом нодальных областей, ограниченных теоремой Куранта). Улучшение оценки основанно на рассмотрении не одного такого графа, а целого семейства графов, запараметризованных точкой на поверхнности, в которой мы требуем ноль большой кратности.

11 июня 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: А.М.Филановский (НИУ ВШЭ)
Тема: Максимизация второго числа Неймана среди треугольников и четырехугольников

Аннотация:
Мы рассмотрим задачу Неймана для оператора Лапласа для некоторых классов плоских областей, а именно для треугольников и затем на четырехугольниках. Используя, так называемый, "метод пробной функции", я расскажу, как можно доказать, что максимум второго числа Неймана будет достигаться на равностороннем треугольнике и на квадрате соответственно.

21 мая 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: D. S. Grebenkov (Laboratory of Condensed Matter Physics, CNRS - Ecole Polytechnique)
Тема: Geometrical structure of Laplacian eigenfunctions (in collaboration with A. Delitsyn, B.-T. Nguyen)

Аннотация:
This talk is dedicated to low-frequency eigenfunctions of the Laplace operator in bounded Euclidean domains. In spite of a common picture of eigenfunctions as oscillating waves, the geometrical structure of Laplacian eigenfunctions is much richer and more complicated [1]. We consider a bounded domain of arbitrary shape with elongated "branches" of variable cross-sectional profiles. When an eigenvalue is smaller than a prescribed threshold (which is determined by the shape of the branch), the corresponding eigenfunction is proved to have an upper bound decaying exponentially fast along each branch [2,3]. This behavior is demonstrated for Dirichlet and Robin boundary conditions on the branch boundary. We also discuss how the exponential decay leads to localization or trapping of eigenmodes in finite quantum waveguides. In particular, we obtain a sufficient condition which determines the minimal length of branches for getting a trapped eigenmode. Varying the branch lengths may switch certain eigenmodes from non-trapped to trapped or, equivalently, the waveguide state from conducting to insulating [4].

Литература:

• [1] D. S. Grebenkov and B.-T. Nguyen, Geometrical structure of Laplacian eigenfunctions, SIAM Reviews 55, 601-667 (2013).
• [2] B.-T.Nguyen, D. S. Grebenkov, and A. L. Delitsyn, On the Exponential Decay of Laplacian Eigenfunctions in Planar Domains with Branches, Contemp. Math. 630, 337-348 (2014).
• [3] A. L. Delitsyn, B.-T. Nguyen, and D. S. Grebenkov, Exponential decay of Laplacian eigenfunctions in domains with branches of variable cross-sectional profiles, Eur. Phys. J. B 85, 371 (2012).
• [4] A. L. Delitsyn, B.-T. Nguyen, and D. S. Grebenkov, Trapped modes in finite quantum waveguides, Eur. Phys. J. B. 85, 176 (2012).

14 мая 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Анастасия Викулова (МГУ)
Тема: Изоспектральность в классе трапеций

Аннотация:
В 1964 году Джон Милнор показал, что в общем случае ответ на вопрос: "Если два римановых многообразия являются изоспектральными, следует ли из этого, что они изометричны?" отрицателен. Для этого он построил в пространстве R^16 две решетки L1 и L2, такие, что R^16/L1 и R^16/L2 имеют одинаковые спектры, но при этом с помощью вращения в R^16 L1 не переходит в L2.

Но если рассматривать определенные классы областей, то ответ может оказаться и положительным. После изучения работы Hamid Hezari, Zhiqin Lu, Julie Rowlett "The Neumann isospectral problem for trapezoids" [1], где рассматривался определенный класс трапеций, у которых углы при большем основании меньше \pi/2, можно задаться вопросом: "А что будет в классе трапеций, у которых один из углов при большем основании строго больше \pi/2, а другой строго меньше?". Так вот оказывается, что для таких трапеций ответ будет положительным как для задачи Неймана, так и для задачи Дирихле. Для доказательства этого факта мы будем искать спектральные инварианты для трапеций из следа ядра теплопроводности и асимптотики преобразования Фурье следа волнового ядра. В работе Duistermaat and Guillemin 1975 года было доказано, что сингулярный носитель следа волнового ядра для риманова компактного многообразия без края содержится в множестве {0} и {(+-)L}, где L - множество длин замкнутых геодезических. Таким образом, мы попробуем найти минимальные геодезические на интересующих нас удвоенных трапециях, то есть на таких многообразиях, которые получаются с помощью склейки двух одинаковых трапеций по границе. Мы увидим, что геодезические в нашем случае и геодезические для трапеций, которые рассматриваются в работе [1] отличаются. И следовательно, мы получаем новые асимптотические оценки для преобразования Фурье следа волнового ядра, которые являются спектральными инвариантами. В итоге с помощью этих и других известных нам спектральных инвариантов мы сможем однозначно восстановить трапецию.

7 мая 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Равиль Габдурахманов (НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Пространства гармонических отображений проективной плоскости в четырёхмерную сферу

Аннотация:
Я напомню теоремы Калаби, Барбосы и Брайанта о гармонических отображениях двумерной сферы в четырехмерную. Далее я расскажу о конструкции твистерного расслоения, возникающей в теореме Брайанта. Следуя Болтону и Вудварду я дам определение высших особенностей и приведу некоторые факты о них. Затем я более детально расскажу о твистерном поднятии гармонических отображений, о связи пространства линейно-полных гармонических отображений и пространства линейно-полных горизонтальных голоморфных кривых в твистерном расслоении. Далее я расскажу о группах, действующих на этих пространствах и о том, как при помощи них гомотопировать произвольное отображение к некоторой канонической форме. При помощи этого я найду канонические формы и исследую пространства отображений проективной плоскости в четырехмерную сферу с площадями 6pi, 8pi, 10pi и 12pi в индуцированной метрике.

30 апреля 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ)
Тема: О полнотории с жёстким спектром Стеклова

Аннотация:
Наряду с вопросами изоспектральности интересными и сложными являются вопросы жёсткости спектра. Для спектра Стеклова вопрос жёсткости спектра можно сформулировать следующим образом: найти примеры многообразий с краем, которые определяются своим спектром Стеклова единственным образом. Полтерович и Шер выяснили, что двумерный диск однозначно определяется своим спектром Стеклова среди всех плоских областей с гладкой границей, а трёхмерный шар - среди всех связных областей с гладкой границей. Для полноториев в R^3 этот вопрос оказывается более деликатным. Нахождение полноториев с жёстким спектром по-видимому упирается в открытые гипотезы (гипотезу Жируара об эйлеровой характеристике и гипотезу Жируара-Парновского-Полтеровича-Шера об изоспектральных по Стеклову многообразиях). Однако, если ограничиться областями в R^3 с краем рода 1, то вопрос жёсткости становится достаточно простым: можно легко обнаружить полноторие с жёстким спектром. Я расскажу как это сделать. Все необходимые факты и определения будут сообщены.

23 апреля 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Marco Mazzucchelli (CNRS, UMPA, ENS de Lyon)
Тема: A simple proof of the Conley conjecture for Hamiltonian diffeomorphisms C^1-close to the identity

Аннотация:
The Conley conjecture, established in 2009 by Nancy Hingston, asserts that every Hamiltonian diffeomorphism of a standard symplectic 2n-torus admits infinitely many periodic points. While this conjecture has been extended to more general closed symplectic manifolds, all the known proofs require sophisticated arguments. In this talk, we use generating function techniques in symplectic geometry to give a simple proof of the conjecture for those Hamiltonian diffeomorphisms of the torus that are C^1-close to the identity.

16 апреля 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Родион Деев (НМУ, НИУ ВШЭ)
Тема: Некоторые свойства областей Неймана

Аннотация:
Мы рассмотрим некоторые геометрические и спектральные свойства областей в поверхностях, на которые их разрезают их потоки морсовских функций, собственных для оператора Лапласа.

Литература:

• Ram Band, David Fajman, Topological Properties of Neumann Domains.

9 апреля 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ)
Тема: Об оценках Карпухина на римановых поверхностях с краем

Аннотация:
Мы закончим обсуждать статью Карпухина и докажем оценки на собственные числа оператора Стеклова на функциях на римановых поверхностях с краем. Эти оценки почти всегда сильнее аналогичных оценок Полтеровича-Жируара, которые мы обсуждали ранее.

Литература:

• Mikhail A. Karpukhin, Bounds between Laplace and Steklov eigenvalues on nonnegatively curved manifolds.

2 апреля 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Никита Клемятин (МГУ)
Тема: Об оценках Надирашвили кратностей собственных чисел оператора Шредингера на компактных двумерных многообразиях (продолжение доклада)

Аннотация:
Я расскажу результаты Надирашвили о кратностях собственных чисел оператора Шредингера на компактных двумерных многообразиях. Эти оценки оказываются не зависящими от метрики и потенциала. Кроме того будет установлена точность этих оценок для первого собственного числа в случае многообразия с неотрицательной эйлеровой характеристикой. Также будут рассмотрены задачи Дирихле и Неймана для самосопряженных эллиптических операторов и установлены оценки на кратность собственных чисел для этих задач.

Литература:

• Н. С. Надирашвили, Кратные собственные значения оператора Лапласа.

26 марта 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Никита Клемятин (МГУ)
Тема: Об оценках Надирашвили кратностей собственных чисел оператора Шредингера на компактных двумерных многообразиях

Аннотация:
Я расскажу результаты Надирашвили о кратностях собственных чисел оператора Шредингера на компактных двумерных многообразиях. Эти оценки оказываются не зависящими от метрики и потенциала. Кроме того будет установлена точность этих оценок для первого собственного числа в случае многообразия с неотрицательной эйлеровой характеристикой. Также будут рассмотрены задачи Дирихле и Неймана для самосопряженных эллиптических операторов и установлены оценки на кратность собственных чисел для этих задач.

Литература:

• Н. С. Надирашвили, Кратные собственные значения оператора Лапласа.

19 марта 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ)
Тема: Об оценках Роло-Саво и Карпухина

Аннотация:
Мы продолжим обсуждать спектр оператора Стеклова на формах и его связь с геометрией многообразия. В прошлый раз мы успели разобрать лишь оценки Янга-Ю. На предстоящем семинаре мы подробно разберём оценки Роло-Саво для компактных римановых многообразий неотрицательной р-кривизны Вейценбёка и некоторым ограничением на главные кривизны края.

Основываясь на оценках Янга-Ю и Роло-Саво, Карпухин (в самом конце 2015 года) получил весьма любопытные оценки: для римановых поверхностей с краем (что почти всегда сильнее аналогичных оценок Полтеровича-Жируара) и для многообразий неотрицательной 2-кривизны Вейценбёка и некоторым ограничением на главные кривизны края (в последнем случае ориентируемость многообразия не требуется).

Литература:

• Simon Raulot, Alessandro Savo, On the first eigenvalue of the Dirichlet-to-Neumann operator on forms,
• Simon Raulot, Alessandro Savo, A Reilly formula and eigenvalue estimates for differential forms,
• Mikhail A. Karpukhin, Bounds between Laplace and Steklov eigenvalues on nonnegatively curved manifolds.

12 марта 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ)
Тема: Об оценках Янга-Ю и Роло-Саво

Аннотация:
В прошлый раз мы довольно подробно обсудили оценки Полтеровича-Жируара на произведение собственных чисел задачи Стеклова на римановых поверхностях. Эти оценки можно обобщить следующим образом: продолжим оператор Стеклова на р-формы и рассмотрим задачу Стеклова на р-формах (обычная задача Стеклова, конечно, получается из этой задачи при рассмотрении 0-форм, т.е. функций). Так же как и обычный, расширенный оператор Стеклова будет являться неотрицательным псевдодифференциальным самосопряжённым эллиптическим оператором первого порядка и на компактных связных римановых многообразиях с краем он обладает дискретным монотонно неубывающим спектром, элементы которого также содержат информацию о геометрии данного многообразия. Это особенно хорошо видно на многообразиях с неотрицательной р-кривизной Вейценбёка (обобщение кривизны Риччи), что может быть продемонстрировано с помощью оценок Роло-Саво. Оценки, аналогичные оценкам Полтеровича-Жируара, с которых мы и начнём, были получены в конце августа прошлого года Янгом и Ю. Мы подробно разберём каждую из этих оценок. Все необходимые определения и факты будут сообщены.

Литература:

• Liangwei Yang, Chengjie Yu, A higher dimensional generalization of Hersch-Payne-Schiffer inequality for Steklov eigenvalues.

5 марта 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ)
Тема: Об оценках Херша-Пейна-Шиффера и Полтеровича-Жируара

Аннотация:
Для спектра Стеклова, так же как и для спектра оператора Лапласа, естественной является задача об оценке собственных чисел. Можно также рассматривать оценки на различные функции от собственных чисел Стеклова. Одной из самых простых функций является функция произведения собственных чисел. Для этой функции одной из первых оценок в случае плоских областей с краем является оценка Херша-Пейна-Шиффера, а в случае римановых поверхностей с краем - оценка Полтеровича-Жируара. В докладе мы подробно разберём доказательства обоих оценок.

Литература:

• Alexandre Girouard, Iosif Polterovich, Upper bounds for Steklov eigenvalues on surfaces.

27 февраля 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Денис Фуфаев (МГУ)
Тема: Изоспектральность в задаче Неймана для трапеций

Аннотация:
Как известно, в общем случае из изоспектральности областей не следует их изометричность, однако если рассматривать лишь определенный класс областей, ответ может быть положительным. Для простейших случаев этот факт следует почти моментально, для более сложных приходится развивать определенную технику. Доклад будет посвящен соответствующему результату для класса областей-трапеций на плоскости, будет рассказано о методе нахождения спектральных инвариантов с помощью асимптотик связанных с дифференциальным оператором функций и описаны основные идеи доказательства.

20 февраля 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Спектр треугольников: оценки и гипотезы.

Аннотация:
Доклад будет посвящен обзору некоторых результатов B. Siudeja, связанных со спектром треугольников. Несмотря на кажущуюся простоту треугольных областей, изучение их спектров оказывается не всегда легкой, но важной задачей. Например, прямоугольные треугольники оказались крайне важны и полезны для свежих результатов, связанных со знаменитой hot spot conjecture. Другой интересный вопрос связан с симметрией/антисимметрией собственной функции, отвечающей первому ненулевому числу Неймана для равностороннего треугольника и дельтоида (kite). Нетрудно показать что один из случаев (симметрия или антисимметрия) должен иметь место, а вот понять какой именно оказалось не так просто. Для решения этой задачи опять оказалось полезным применить прямоугольные треугольники.

Большое внимание во время доклада будет уделено смешанным задачам, связанным с треугольниками (часть границы с условием Дирихле, часть с условием Неймана). Я расскажу про интересные неравенства, связанные с младшими собственными числами различных смешанных задач, доказанные факты и пока еще открытые задачи. Также я рассчитываю затронуть вопросы, связанные с симметриями собственных функций для ромбов. После этого я хочу рассказать что успею про другие известные неравенства, задачи, гипотезы и методы, связанные с треугольниками.

Осень 2015:

19 декабря 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Равиль Габдурахманов (НМУ, НИУ ВШЭ)
Тема: Обзор некоторых результатов в исследовании геометрии и спектра задачи Стеклова

Аннотация:
Я напомню про задачу Стеклова. Далее расскажу немного о различиях в её геометрии и геометриях задач Дирихле и Неймана. Потом мы посмотрим на результаты об асимптотиках и инвариантах спектра Стеклова. И увидим как гладкость границы многообразия влияет на асимптотику, посмотрев на результаты для спектров некоторых многоугольников. Затем коснёмся геометрических неравенств и оценок для собственных значений. Продолжим вопросами изоспектральности. И завершим нодальной геометрией и оценками на кратность собственных значений.

Доклад обзорный, основан на статье A.Girouard and I. Polterovich, "Spectral geometry of the Steklov problem"

12 декабря 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Родион Деев (НМУ, НИУ ВШЭ)
Тема: Неравенства на собственные числа на римановых многообразиях с нижней оценкой на кривизну Риччи (продолжение)

Аннотация:
Следуя недавней статье Асмы Хассаннежад, Иосифа Полтеровича и Герасима Кокарева, я попытаюсь рассказать про то, как ограничение снизу на скалярную кривизну риманова многообразия даёт хорошо известные ограничения на собственные числа лапласиана - неравенства Бузера, Чена и Громова.

5 декабря 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Родион Деев (НМУ, НИУ ВШЭ)
Тема: Неравенства на собственные числа на римановых многообразиях с нижней оценкой на кривизну Риччи

Аннотация:
Следуя недавней статье Асмы Хассаннежад, Иосифа Полтеровича и Герасима Кокарева, я попытаюсь рассказать про то, как ограничение снизу на скалярную кривизну риманова многообразия даёт хорошо известные ограничения на собственные числа лапласиана - неравенства Бузера, Чена и Громова.

28 ноября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, ИПУ РАН)
Тема: О работе Брайанта о суперминимальных погружениях поверхностей в сферу (продолжение).

Аннотация:
Мы продолжим строить по данному минимальному погружению двумерной сферы в четырёхмерную единственную голоморфную кривую в пространстве твисторов четырёхмерной сферы, CP^3. Я надеюсь завершить доказательство теоремы Брайанта. Важными для нас будут понятие суперминимального погружения и его спина. Для доказательства теоремы Брайанта нам также понадобятся некоторые факты из алгебраической и кэлеровой геометрий (все они будут сообщены).

21 ноября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, ИПУ РАН)
Тема: О работе Брайанта о суперминимальных погружениях поверхностей в сферу (продолжение).

Аннотация:
Мы продолжим разбирать теорему Брайанта о поднятии минимального погружения римановой поверхности в четырёхмерную сферу до голоморфной кривой в пространстве твисторов этой сферы, CP^3. В прошлый раз мы успели получить структурные уравнения, на этом вычислительная часть теоремы Брайанта практически закончена. Кроме полученных уравнений для понимания доказательства теоремы Брайанта нам понадобятся некоторые факты из кэлеровой и алгебраической геометрий (всё необходимое будет сообщено).

14 ноября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, ИПУ РАН)
Тема: О работе Брайанта о суперминимальных погружениях поверхностей в сферу

Аннотация:
Вслед за результатами Калаби и Барбосы о связи минимальных погружений двумерных сфер в n-мерные с (псевдо)голоморфными кривыми мы проследуем к результатам Брайанта, описывающим связь минимальных погружений римановых поверхностей в четырёхмерную сферу с голоморфными кривыми в CP^3, которые можно рассматривать как обобщение результатов Барбосы и Калаби для этого частного случая минимальных погружений. Ключевым понятием в докладе будет понятие суперминимального погружения.

7 ноября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Никита Клемятин (МГУ)
Тема: О работе Барбосы о минимальных погружениях двумерной сферы в многомерные сферы.

Аннотация:
Я расскажу статью Барбосы, в которой доказывается, что площадь минимальной иммерсии двумерной сферы в n-мерную делится на 4*pi. Это усиливает недавно обсуждавшийся результат Калаби.

31 октября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: О последней работе Симона Аритурка

Аннотация:
Я расскажу о последней работе Синона Аритурка. Речь пойдет о телах вращения. Будет доказано, что кольцо максимизирует все собственные значения оператора Лапласа-Бельтрами для задачи Дирихле среди поверхностей вращения с двумя компонентами границы. Техника, привлеченная для доказательства, позволяет доказать похожий еще один факт: половина геликоида максимизирует все собственные значения задачи Дирихле в классе поверхностей, инвариантных относительно винтового действия окружности в R^2 x S^1 с такой же границей. Будут привлечены средства из функционального анализа.

24 октября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, ИПУ РАН)
Тема: О работе Калаби о гармонических отображениях двумерной сферы в n-мерную (продолжение).

Аннотация:
Мы продолжим изучение гармонических отображений двумерной сферы в n-мерную и докажем теорему Калаби о гармоническом образе двумерной сферы.

17 октября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Н.С.Надирашвили (CNRS)
Тема: Изопериметрическое неравенство для третьего собственного числа оператора Лапласа-Бельтрами на сфере

10 октября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, ИПУ РАН)
Тема: О работе Калаби о гармонических отображениях двумерной сферы в n-мерную (продолжение).

Аннотация:
Мы продолжим разговор про теорему Калаби о гармонических отображениях между сферами: я расскажу более подробно об устройстве изотропного пространства и попытаюсь дать набросок доказательства теоремы Калаби.

3 октября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, ИПУ РАН)
Тема: О работе Калаби о гармонических отображениях двумерной сферы в n-мерную.

Аннотация:
Мы продолжим изучение гармонических отображений и обсудим фундаментальную теорему Калаби, которая классифицирует гармонические отображения двумерной сферы в n-мерную. Все необходимые сведения для понимания этой теоремы будут даны.

26 сентября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, ИПУ РАН)
Тема: Экстремальные метрики и гармонические отображения.

Аннотация:
Мы продолжим изучение экстремальных метрик. Рассмотрим задачу о поиске экстремальных метрик на компактных римановых поверхностях без края. Оказывается, что в этом случае нам придётся расширить класс искомых метрик (супремум первого собственного числа достигается для метрик, имеющих конченое множество конических особенностей (Петридес, 2013)). Эти особенности проистекают из особенностей минимальных погружений, которые являются частным случаем гармонических отображений. В связи с этим нам предстоит разобраться с теорией гармонических отображений. Мы поговорим о результатах Петриеса 2013 года об экстремальных метриках на римановых поверхностях без края и об основных свойствах гармонических отображений.

19 сентября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, ИПУ РАН)
Тема: Оператор Лапласа-Бельтрами, минимальные погружения и экстремальные метрики.

Аннотация:
Мы продолжим изучение экстремальных метрик и докажем важнейшую теорему (теорему Надирашвили-Эль Суфи-Илиаса), дающую ответ, когда метрика на данном многообразии является экстремальной. Все необходимые определения и важные для доклада факты будут сообщены.

12 сентября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, ИПУ РАН)
Тема: Оператор Лапласа-Бельтрами и минимальные погружения.