Михаил Юрьевич Лашкевич

Общая теория относительности

Совместный с ФОПФ МФТИ спецкурс. В формате лекция+семинар.
Читается очно по четвергам, начиная с 10 сентября (17:00, ауд.309).

Общая теория относительности Общая теория относительности на данный момент является общепризнанной и экспериментально проверенной теорией гравитации. В основе общей теории относительности лежит представление о геометрической природе гравитационного поля. Последнее отождествляется с метрикой пространства-времени.

Курс начинается с краткого изложения основ дифференциальной геометрии псевдоримановых многообразий. Затем мы обсудим движение частицы в пространстве-времени как псевдоримановом многообразии с сигнатурой (+–…–) и динамику самого гравитационного поля. Мы подробно обсудим эффекты слабого гравитационного поля, включая гравитационные волны, их излучение, постньютоновские поправки к задаче Кеплера, гравитационное линзирование. Изучим точные решения для сильного поля — черные дыры и основные космологические решения.

Лекция 1: Геометрия и физика специальной теории относительности: невырожденная симметричная форма в линейном пространстве и сигнатура; метрика в аффинном пространстве, индексные и безындексные обозначения; принцип наименьшего действия для частиц. Семинар: Преобразование Лоренца, светоподобные координаты, диаграмма Пенроуза.

Лекция 2: Основные понятия дифференциальной геометрии и пространство-время: аффинная связность и ковариантные производные; метрика и связность Леви-Чивиты. Семинар: Физическая интерпретация метрики.

Лекция 3: Риманова кривизна. Преобразования тензорных полей: Риманова кривизна: два определения; Свойства римановой кривизны; Преобразование полей и производная Ли. Выражение производной Ли через связность Леви-Чивиты. Семинар: Симметрии и векторные поля Киллинга.

Лекция 4: Частицы в искривленном пространстве-времени: частица в искривленном пространстве-времени, геодезические, внешнее электромагнитное поле; уравнение Гамильтона—Якоби. Семинар: Уравнение Гамильтона—Якоби.

Лекция 5: Поля в гравитационном поле. Тензор энергии-импульса: лагранжев подход к теории поля и канонический тензор энергии-импульса в плоском пространстве-времени; метрический тензор энергии-импульса, его связь с каноническим тензором; тензор энергии-импульса частицы. Семинар: Тензор энергии-импульса для различных физических систем.

Лекция 6: Уравнения гравитационного поля и законы сохранения: действие Эйнштейна—Гильберта и уравнения Эйнштейна; задача Коши для уравнений Эйнштейна; псевдотензоры энергии-импульса Эйнштейна и Ландау—Лифшица, суперпотенциал; энергия, импульс и угловой момент как интегралы по поверхности. Семинар: Полная энергия стационарной системы.

Лекция 7: Слабое гравитационное поле: линеаризованные уравнения Эйнштейна, фиксация калибровки; статические решения линеаризованных уравнений Эйнштейна, остаточная калибровочная свобода; энергия и угловой момент через асимптотики гравитационного поля. Семинар: Задачи на гравитационное поле в линейном приближении.

Лекция 8: Гравитационные волны: свободные решения однородных линеаризованных уравнений Эйнштейна; плоские волны, монохроматические волны, фиксация калибровки, поляризации; псевдотензор энергии-импульса плоской гравитационной волны. Семинар: Сильная гравитационная волна.

Лекция 9: Излучение гравитационных волн: запаздывающее решение волнового уравнения, упрощение в размерности 4; нерелятивистский источник: ограничение, связанное с сохранением энергии и импульса, и квадрупольное излучение; угловое распределение и вычисление полной излученной энергии. Семинар: Взаимодействие гравитационного поля с материей: примеры.

Лекция 10: Решение Шварцшильда: сферически симметричные уравнения Эйнштейна, их прямое решение; геодезические в метрике Шварцшильда, неполнота шварцильдовских координат; Координаты Эддингтона—Финкельштейна, горизонт событий и сингулярность; Координаты Крускала и диаграмма Пенроуза, максимально расширенное многообразие Крускала. Семинар: Гравитационное поле статического сферически-симметричного тела.

Лекция 11: Движение частицы в метрике Шварцшильда: решение уравнения Гамильтона—Якоби; четыре типа движения в шварцшильдовской метрике, условие их реализации. Семинар: Падение пыли на черную дыру.

Лекция 12: Движение в сравнительно слабом гравитационном поле и экспериментальная проверка ОТО: почти ньютоновское поле и прецессия перигелия; отклонение луча света слабым гравитационным полем. Семинар: Изотропные поверхности. Инвариантность изображений.

Лекция 13: Заряженные и вращающиеся черные дыры: решение Рейснера—Нордстрёма уравнений Максвелла и Эйнштейна; сингулярность, горизонт событий, горизонт Коши, диаграмма Пенроуза; решение Керра—Ньюмена, эргосфера, кольцевая сингулярность, диаграмма Пенроуза. Семинар: Изотропные поверхности. Эволюция изображений.

Лекция 14: Космологические решения. Фридмановские модели: однородная и изотропная Вселенная, пространства постоянной кривизны; уравнения Фридмана, их решения для пылевидной материи и ультрарелятивистского газа; космологическая постоянная и ускоренное расширение, современная модель расширяющейся Вселенной, темная материя и темная энергия. Семинар: Проблемы моделей Фридмана. Инфляция.