Денис Терешкин

Группы, геометрия и (ко)гомологии

Цель этого курса -- введение в уже довольно давно существующую, но (ещё) не имеющую ощутимых границ и устоявшегося названия небольшую область математики. Её можно, пожалуй, назвать алгебраическими методами метрической геометрии. Главным утверждением (*), которое мне хочется по возможности детально объяснить, является когомологическая характеризация гиперболичности и аменабельности, очень ясно показывающая, что эти свойства являются буквально противоположными друг другу в смысле, похожем на то, как противоположны эпиморфизмы и мономорфизмы. После этого я попробую рассказать, что вокруг этого вопроса известно хорошо, что известно плохо, и, наконец, чем (насколько мне известно) никто не занимался

Лекции читаются очно по понедельникам, начиная с 5 сентября, в 19:20 в аудитории 303 и транслируются на YouTube.

Для обсуждения задач и организационных вопросов:
https://discord.gg/D7Hn83aKsV

Листки

[ листок 1 ]

План курса

Первые несколько лекций будут общеобразовательным введением в геометрическую теорию групп и теорию аменабельности. Если после доказательства главного утверждения (*) останется достаточно времени и слушателей, я попробую рассказать про несколько результатов, намекающих на а) недостаток _естественных_ инвариантов, и, что более важно, б) отсутствие правильной категории, тени морфизмов которой видны в понятиях квазиизометрии и неположительной кривизны.

Список утверждений, определений и конструкций (неполный и опттмистичный)

Метрика на группе. Функция роста и функция Дэна. Липшицевы отображения и квазиизометрии.
Аменабельность. Последовательности Фёльнера.
Нормированные теории когомологий. Теорема Джонсона о занулении ограниченных когомологий.
Combing, выпрямление симплексов (для гиперболических многообразий и для гиперболических групп)
*. Решётки и вложения в локально компактные группы.
*. Метрика как класс собственных действий на хороших пространствах. Мера как класс действий.
*. Граница группы. Uniformity как обобщение расстояния.
**. Коммутаторная длина, расслоения над окружностью, упорядоченные группы, простота и измеримость C*-алгебр...

Пререквизиты

Предполагается, что слушатели первых двух частей семинара знакомы с основами алгебраической топологии и алгебры вообще (в объеме курсов НМУ с аналогичными названиями).

Список литературы

(будет дополняться)

М. Громов. Гиперболические группы
R. I. Grigorchuk, Degrees of growth of finitely generated groups, and the theory of invariant means
Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии
С. В. Иванов. Volumes and areas in metric geometry. D.Sc