В.А.Гордин

Прикладная математика

Программа курса

Устойчивость результата к погрешностям исходных данных.
Фурье-анализ устойчивости простейших (Эйлера, Кранка - Николсона, leap-frog) разностных схем интегрирования простейших ур.ч.п. с постоянными коэффициентами.
Линейные конечно-разностные уравнения: однородное и неоднородное.
Теория подобия и физическая размерность.
Интерполяционные многочлены в формах Лагранжа и Ньютона. Варианты с заданием производных.
Константа Лебега и оптимизация узлов интеполяции. Равномерные и чебышевские узлы.
Минимум интегральных функционалов. Простейшие задачи вариаци\-он\-ного исчисления. Лемма Дюбуа -- Реймона. Уравнения Эйлера и условия трансверсальности.
Гильбертово пространство. Соболевские пространства. Теорема Соболева о вложении.
Графики функций двух переменных. Изоповерхности. Стационар\-ные точки. Лемма Морса.
Сплайны и прогонка. Разностная аппроксимация обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Связь дифференциальной прогонки и ее линейно-алгебраического аналога. Опасности метода стрельбы.
Определение преобразования Фурье и сходимость интеграла. Леммы об оценке интегралов. Преобразование Фурье рациональных функций. Интеграл Эйлера. Обращение пр. Фурье. Лемма Жордана.
Преобразование Фурье как унитарный оператор. Гладкость и убывание на бесконечности.
Обобщенные функции. Опpеделения, диффеpенциpование, пpеобразование Фуpье.
Свертка. Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Фурье. Фундаментальное решение. Фундаментальное решение для оператора Лапласа и его степеней в пространствах разной размерности. Понятие о псевдодифференциальных операторах.
Метод стационарной фазы. Лемма Эpдейи. Вклад границы. Вырожденные стационарные точки. Многомерный случай.
Преобразование Лапласа. Решение линейных оду с постоянными коэффициентами.
Условия Лежандра, слабое и сильное. Уравнение Якоби. Сопряженные точки. Скалярное и матричное уравнения Риккати.
Примеры неединственности экстремали.
Изопериметрические задачи. Примеры.
Вариационное согласование функции и ее производных.
Задача Штурма -- Лиувилля. Теоремы Куранта и Штурма. Асимптотические оценки собственных чисел и собственных функций.
Метод Фурье решения краевых задач урчп.
Стационарные точки линейных оду. Классификация. Устойчивость.
Теорема Ляпунова об устойчивости стац. точек нелинейных оду.
Функция Ляпунова. Вариант для нелинейных урчп.
Чебышевское приближение и многочлены Чебышева.

Литература

Дж.~Алберг, Э.~Нильсен, Дж.~Уолш: {\it Теория сплайнов и её приложения.} М., "Мир", 1972.
В.~М.~Алексеев, В.~М.~Тихомиров, С.~В.~Фомин: {\it Оптимальное управление.} М., "Наука", 1979.
В.~И.~Арнольд: {\it Обыкновенные дифференциальные уравнения.} 1985, ``Наука", M.
В.~И.~Арнольд: {\it Математические методы классической механики.} 1989, ``Наука", M.
В.~И.~Арнольд: {\it Лекции по уравнениям в частных производных.} Независимый Унимерситет, M., 1995, 146p.
V.~I.~Arnold, B.~A.~Khesin: {\it Topological Methods in Hydrodynamics.} 1998, Springer-Verlag.
Н.~И.~Ахиезер: {\it Лекции по вариационному исчислению.} Гостехиздат, M., 1955.
N.~I.~Ahiezer: {\it Лекции по теории аппроксимации.} 1965, ``Наука", M.
К.~И.~Бабенко: {\it Основы численного анализа.} 1986, ``Наука", M.
Н.~С.~Бахвалов, Н.~П.~Жидков, Г.~М.~Кобельков: {\it Численные методы.} 1987, ``Наука", M.
В.~С.~Буслаев: {\it Вариационное исчисление.} Л., ЛГУ, 1980.
И.~М.~Гельфанд, Г.~Е.~Шилов: {\it Пространства основных и обобщенных функций.} М., Физматгиз, 1958.
И.~М.~Гельфанд, Г.~Е.~Шилов: {\it Обобщенные функции и действия над ними.} М., Физматгиз, 1959.
И.~М.~Гельфанд, Г.~Е.~Шилов: {\it Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений.} М., Физматгиз, 1958.
И.~М.~Гельфанд, Н.~Я.~Виленкин: {\it Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства.} М., Физматгиз, 1961.
И.~М.~Гельфанд, С.~В.~Фомин: {\it Вариационное исчисление.} М., Физматгиз, 1958.
А.~О.~Гельфонд: {\it Исчисление конечных разностей.} М., "Наука", 1967.
С.~К.~Годунов: {\it Элементы механики сплошной среды.} М., "Наука", 1978.
С.~К.~Годунов: {\it Уравнения математической физики.} М., "Наука", 1979.
С.~К.~Годунов, В.С.Рябенький: {\it Разностные схемы.} М., "Наука", 1980.
В.~А.~Гордин: {\it Математические задачи гидродинамического прогноза погоды.} 2т., Л., Гидрометеоиздат, 1987.
В.~А.~Гордин: {\it Математика, компьютер, прогноз погоды.} Л., Гидрометеоиздат, 1991.
V.~A.~Gordin: {\it Mathematical Problems and Methods in Hydrodynamical Weather Forecasting.} Gordon & Breach, 1999.
А.~Н.~Колмогоров, С.~В.~Фомин: {\it Элементы теории функций и функционального анализа.} М., "Наука", 1972.
Г.~Корн, Т.~Корн: {\it Справочник по математике для научных работников.} М., "Наука", 1968.
Р.~Курант, Д.~Гильберт: {\it Методы математической физики.} М., "ГТТИ", 1933, 1951.
М.~А.~Лаврентьев, Л.А.Люстерник: {\it Курс вариационного исчисления.} М.-Л. ГИТТЛ, 1950.
Г.~И.~Марчук: {\it Методы вычислительной математики.} М., "Наука", 1977.
В.~П.~Маслов, М.В.Федорюк: {\it Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики.} М., "Наука", 1976.
Дж.~Милнор: {\it Теория Морса.} М., "Мир", 1965.
И.~Г.~Петровский: {\it Лекции об обыкновенных дифференциальных уравнениях.} М., МГУ, 1984.
И.~Г.~Петровский: {\it Лекции об уравнениях в частных производных.} М., Физматгиз, 1961.
Б.~Л.~Рождественский, Н.~Н.~Яненко: {\it Системы квазилинейных уравнений.} М., "Наука", 1978.
Ю.~А.~Розанов: {\it Случайные процессы.} М., "Наука", 1971.
В.~С.~Рябенький: {\it Введение в вычислительную математику.} М., "Наука", 1994.
А.~А.~Самарский: {\it Теория разностных схем.} М., "Наука", 1977.
А.~А.~Самарский, Е.~С.~Николаев: {\it Методы решения сеточных уравнений.} М., "Наука", 1978.
Дж.~Уизем: {\it Линейные и нелинейные волны.} М., "Мир", 1977.
Р.~П.~Федоренко: {\it Введение в вычислительную физику.} М., МФТИ, 1994.
М.В.Федорюк: {\it Асимптотика. Интегралы и ряды.} М., ``Наука", 1987.
Р.~В.~Хемминг: {\it Численные методы.} М., "Наука", 1968.
Г.~Е.~Шилов: {\it Математический анализ. Специальный курс.} М., Физматгиз, 1960.
Г.~Е.~Шилов: {\it Математический анализ. Второй специальный курс.} М., "Наука", 1966.
Г.~Е.~Шилов: {\it Математический анализ. Функции одного переменного.} М., ч.1-2, ч.3. 1969.