На спецкурсе Неретина -- области Картана, полугруппы Ольшанского, функтор Крейна--Шмульяна
14 октября 1999. Ольшанецкий М.А. Интегрирование цепочки Тода и геодезические на симметрических пространствах
"Геодезическая в симметрическом пространстве" это некоторая несложная кривая в пространстве матриц. Эволюция цепочки Тода сводится к эволюции собственных чисел этой (зависящей от параметра матрицы).
Докладчик надеется также обсудить некоторые работы (Хитчин; Этингоф), обобщающие эту конструкцию
21 октября 1999, 19.10 Хорошкин С. М. Интегральные представления универсальных R-матриц.
21 oktober. Khoroshkin S.M. Integral representations for universal $R$-matrices)
Для универсальных R-матриц деформированных аффинных алгебр Ли (квантовых аффинных алгебр, дублей янгианов и т.п.) предлагается описание универсальных R-матриц в форме ряда многократных контурных интегралов. Формула аналогична т.н. упорядоченной экспоненте, используемой для решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, где роль упорядочивания в комплексной области играет контур интегрирования. Она получается в результате анализа аналитических свойств действия производящих функций элементов алгебры в представлениях старшего веса.
Будет сделана попытка минимизировать введение отягощающих обстоятельств в виде квантовых групп и т.д.
It is given description of universal $R$-matrix (for quantum affine algebras, doubles of yangians etc.) as series of multivariant contour integrals. Formula is similar to contour representation of solution of system of linear partial differential equations
Speaker will try to minimize using of specific tools (quantum groups etc.)
28 октября Неретин Ю.А. Введение в вершинные (vertex) операторы
28 october Neretin Yu.A. Introduction to vertex operator
Самый простой базис в аффинной алгебре Ли состоит из $\delta$-функций. Операторы представления в этом базисе хорошо пишутся. Сами по себе они довольно просты (в бозонной модели -- произведение сдвига и умножения на экспоненту). Однако при попытке вычисления их коммутаторов возникают определенные сложности (как и при попытке возвести обычную $\delta$-функцию в квадрат). Цель доклада -- объяснить (на примере $ SL(2) $) как эта сложность преодолевается.
4 ноября 19.10 Вербицкий М. Поверхности типа К3 и трубу будущего
4 november, 19.10 M.Verbitskii M. Surfaces K3 and future tubes
Поверхность К3 -- это двумерное комплексное многообразие, на котором есть невырожденная голоморфная 2-форма. Они допускают явную параметризацию и нумеруются точками симметрического пространства $O(20,2)/O(20)\times O(2)$ Пример поверхности К3 -- поверхность четвертой степени без особых точек в трехмерном проективном пространстве Они нумеруются точками симметрического пространства $O(19,2)/O(19)\times O(2)$
Цель доклада -- объяснить параметризацию
Фок В. Конструкция представления группы Тейхмюллера
Строится некоторый унитарный оператор $K$ в $L^2$ на прямой, такой, что $K^5=1$. Отрывок филе прилагается.
\documentstyle{article}
\begin{document}
\def\RR{ R}
%\begin{corollary}
{\bf C.7} \ Let $K$ be an operator acting in the Hilbert space
$L^2(\RR)$ and having the integral kernel
$$%\be
K(x,z) = F^\hbar(z)e^{-\frac{zx}{2\pi i \hbar}},
$$%\ee
where
%\be
$$%\label{dlc}
F^\hbar(z) = \exp\left(-\frac{1}{4}\int_\Omega
\frac{e^{-ipz}}{p\sinh(\pi
p)\sinh(\pi \hbar p)}dp\right)
$$%\ee
Then the operator $K$ is unitary up to a multiplicative constant and
satisfies the identity
%\be
$$%label{pic}
K^5=\mbox{\em const}.
$$%\ee
\end{document}
C помощью этого оператора изготовляется унитарное представление группы Тейхмюллера в $L^2$ на каком-то $R^n$.
Группа Тейхмюллера -- это фактор группы диффеоморфизмов двумерной поверхности по компоненте связности единицы
18 ноября, 25 ноября. 19.10. Литвинов "Неунитарные представления групп"
18 november, 25 november, 19.10 Litvinov G.L. Nonunitary representations of groups
Представлен общий подход к теории неунитарных представлений групп Ли (и об'ектов более общей природы). Этот подход ра ботает для произвольных групп Ли (конечномерных и бесконеч номерных), а не только для групп с массивной компактной под группой (например, полупростых групп Ли), как обычно.
Указаны связи с теорией дифференциальных уравнений и теори ей среднепериодических функций (Л. Шварц, Л. Эренпрейс, Ма льгранж, В.П. Паламодов, Д.И. Гуревич и др.).
Описана голоморфная версия теории Петера-Вейля для комплекс ных полупростых групп Ли.
Приведены результаты о примарном спектральном анализе и синтезе конечномерных представлений. Указана связь с задачей И.М. Гельфанда о паре коммутирующих матриц.
Указаны связи с классическими задачами линейного анализа (С. Банах, А. Гротендик, М.А. Наймарк, В.И. Ломоносов) и кратко описаны их решения.
Описаны точные непрерывные представления группы Гейзенберга (неприводимые и приводимые) с точностью до некоторой естест венной эквивалентности. Сформулировано решение задачи А.А. Кириллова об описании непрерывных неприводимых (неунитарных) представлений нильпотентных групп Ли.
P.S.(Ю.А.) Существуют отлаженные методы работы со следующими типами представлений
Об объектах, не входящих в эти типы, есть довольно много странных утверждений "физического уровня строгости" (я надеюсь в какой-то момент рассказать об этом) и прискорбно мало точных содержательных работ. Рассказывается одна из них
Спецкурс "Анализ на однородных пространствах"
18 ноября, 17.30 Неретин Ю.А. "Геометрия грассманиана (продолжение) и матричные неравенства"
18 november, 17.30 Neretin Yu.A. Geometry of Grassmannians and matrix inequalities
25 ноября Независимый университет
Спецкурс Неретина Ю.А. 17.30. Обратные пределы симметрических пространств.
25 November 17.30 Independent University Neretin Yu.A. Inverse limits of symmetric spaces
Рассмотрим какую-нибудь серию компактных симметрических пространств, например унитарные группы $U(n)$. Существует некоторый естественный класс (вообще говоря разрывных) рациональных отображений связывающих разные пространства $U(n)$, $U(m)$ (это не гомоморфизмы). В частности можно построить цепочку отображений $$\dots U(n+1)\to\U(n)\to\U(n-1)\dots$$ и взять ее обратный предел, на нем есть естественное однопараметрическое семейство мер, которые можно рассматривать как заменитель несуществующей меры Хаара на бесконечномерной унитарной группе.
Обратный предел не является группой, но бесконечномерная унитарная группа действут на нем левыми и правыми умножениями.
Существование конструкции легко усматривается из вычислений Хуа Ло Кена 1958, но обнаружена она была для одной из серий симметрических пространств лишь в 1988 Пикрелем
The purpose of the lecture is to explain Pickrell type construction of inverse limits of unitary groups and "Haar measure on infinite dimensional unitary group"
Семинар "Теория представлений и гармонический анализ" 19.10
Литвинов Г.Л. Неунитарные представления групп Ли (продолжение)
Seminar "Representation theory and harmonic analysis" 25 november 19.10. Litvinov G.L. Nonunitary representations of Lie groups Continuation.
Описаны неприводимые представления группы Гейзенберга (неуни- тарные и унитарные) с точностью до некоторой естественной эк- вивалентности. Сформулировано решение задачи А.А. Кириллова об описании непрерывных неприводимых (неунитарных) представле- ний нильпотентных групп Ли.
Указаны связи теории неунитарных представлений с классически- ми задачами линейного анализа (С. Банах, А. Гротендик, М.А. Наймарк).
Рассмотрена задача спектрального анализа приводимых представ- лений (общего положения) группы Гейзенберга.
2 December, 19.10, Independent University
Семинар "Теория представлений и гармонический анализ" 19.10
Стояновский А.В. Доказательство комбинаторных тождеств Гордона с помощью групп петель
Stoyanovsky A.V., A loop group proof of the Gordon identities.
Приводится доказательство комбинаторных тождеств Гордона при помощи теории представлений аффинной алгебры sl(2)^ и геометрии бесконечномерного многообразия флагов
Спецкурс Неретина Ю.А. Анализ на однородных пространствах 2 December, 17.30
Меры Пикреля на обратных пределах унитарых групп(продожение)
Области Картана. Функтор Крейра--Шмульяна.
16 декабря 19.10 {\sc Д.Панюшев}
"Про `Spin' для ортогонального представления: вариации на темы Костанта".
16 December 19.10 D.Panyushev
Composition of the spinor representation and adjoint representation. Variations of Kostant construction.
В 1961г. Бертрам Костант (On Borel--Weil--Bott theorem) обнаружил следующее утверждение. Возьмем присоединенное представление простой группы Ли $G$. Операторы представления сохраняют форму Киллинга и тем самым группа $G$ вкладывается в ортогональную группу порядка $\dim G$. Далее ограничиваем спинорное представление ортогональной группы $O(\dim G)$ на $G$. Оказывается, что получится представление со старшим весом $\rho$ (полусумма положительных корней, для $GL$ будет (1,1,\dots,1)) с кратностью 2 в степени $[{\rm rank}\,\, g/2]$. В докладе будет рассказано об этом утверждении и его обобщении на представления изотропии симметрических пространств.
P.S. Костант усиленно (и безуспешно) рекламировал эту конструкцию, с которой связано несколько странных нерешенных вопросов
16 декабря 17.30 Спецкурс "Анализ на однородных пространствах"
23 декабря заседание семинара отменяется (в связи с моим предполагаемым отсутствием)
23 December Seminar is cancelled
30 DECEMBER 1999 (Independent University, Bolshoj Vlas'evskii, 11)
NONCOMMUTATIVE GEOMETRY, CALOGERO-MOSER SPACE AND ADELIC GRASSMANNIAN.
Victor Ginzburg (Chicago)
December 30, 17:30.
We discuss new unexpected relations among three apparently different objects:
1) `Adelic Grassmannian' introduced by G. Wilson (Invent. Math. 1998),
2) right ideals in the algebra C[z, d/dz] of polynomial differential operators in one variable, and
3) Calogero-Moser phase space.
The latter is, according to Kazhdan-Kostant-Sternberg (1978), the set of GL_N-conjugacy classes of pairs (X,Y) of trace zero matrices such that the matrix XY-YX -1 is conjugate to the rank 1 diagonal matrix: diag(0,...,0,-n). It turns out that the Calogero- Moser space should be thought of as a non-commutative deformation of the Hilbert scheme of N points in the 2-plane, in the same sense as the algebra C[x, d/dx] should be thought of as a non-commutative deformation a of the polynomial algebra C[x,y]. Thus, some familiar concepts of Symplectic Geometry are to be replaced by a `Non-commutative Symplectic Geometry', introduced by Kontsevich (1994) for totally different reasons.
I think the seminar in the nest century will begin 13 January
30 ДЕКАБРЯ 17.30 (Независимый Университет, Большой Власьевский пер, 11, ауд 203)
Виктор А. Гинзбург (Чикаго), Некоммутативная геометрия, пространство Calogero--Moser'а и адельный грассманиан
Обсуждаются связи между тремя внешне различными объектами:
1. Адельный грассманиан, введенный в G.Wilson, Inv.Math, 1998
2. Правые идеалы в алгебре $C[z,d/dz]$ дифференциальных операторов от одной переменной с полиномиальными коэффициентами
3. Фазовое пространство Calogero--Moser'а
Последнее, согласно работе Kazhdan--Kostant--Sternberg (1978) есть множество $GL_n$-орбит на множестве пар матриц $(X,Y)$ размера $n$ с нулевым следом, таких, что $XY-YX-1$ сопряжена матрице $diag (0,0,\dots,0,-n)$
Оказывается, что пространство Calogero--Moser'а может рассматриваться как некоммутативная деформация схемы Гильберта наборов из $n$ точек на двумерной плоскости. В том же смысле алгебра $C[x,d/dx]$ является некоммутативной деформацией алгебры $C[x,y]$.
Таким образом некоторые понятия симплектической геометрии должны быть заменены на "некоммутативную симплектическую геометрию", введенную Концевичем (1994) по совершенно иным причинам
P.S. (Ю.А.) Филологические замечания на всякий случай
a) Фактор по правому идеалу есть представление, т.е. правые идеалы упомянутой алгебры -- то же самое, что представления алгебры Гейзенберга с циклическим (порождающим все) вектором
б) Рассмотрим множество $K_n$ всех конфигураций из $n$ точек на плоскости, определенных с точностью до перестановки. В некоторых смыслах это множество не слишком хорошо устроено вблизи конфигураций, имеющих совпадающие точки. Упомянутая схема Гильберта есть улучшенный вариант множества $K_n$. Формальное определение -- множество всех идеалов коразмерности $n$ в кольце полиномов от 2 переменных. У каждого идеала есть множество нулей, каковое есть элемент из $K_n$
В следующем тысячелетии семинар и спецкурс предположительно будет возобновлены 13 января (если ранее не будет каких-либо экстраординарных докладчиков)
(четверг, 17.30) в этом семестре предполагается (программа-максимум)
