На этой странице собрана информация о докладах на общеуниверситетском семинаре "Глобус" в весеннем семестре 2001 года.
What follows is the list of talks at the IUM general seminar ``Globus'' delivered during spring semester, 2001. For most of the talks abstracts in Russian are given, an for some (those for which lecturer's name in English is present) there are lecture notes in postscript format.
Алгебры Каца-Муди бывают эллиптические (полупростые конечномерные), параболические (аффинные) и гиперболические (лоренцевы). Первые два класса в терминах систем корней классифицируются соответственно конечными и аффинными системами корней. Автор недавно получил классификацию гиперболических систем корней ранга 3 с некоторым дополнительным условием (перекрыв полученные ранее в этом направлении результаты О.Шварцмана и В.Бугаенко). Этот результат естественно ведет к классификации лоренцевых алгебр ранга 3. Упомянутое дополнительное условие формулируется в терминах групп Вейля. Группы Вейля гиперболических систем корней ранга 3 естественно отождествляются с фуксовыми группами преобразований верхней полуплоскости. Так вот, классифицированы такие гиперболические системы корней, что соответствующая фуксова группа имеет род 0.
Предмет доклада тесно связан с весьма актуальными задачами теории автоморфных форм, с теорией К3-поверхностей и др.
Пусть X=G/K - комплексное или некомпактное вещественное симметpическое пpостpанство. Следуя И.М.Гельфанду и М.И.Гpаеву, будем называть оpисфеpами пpостpанства X оpбиты максимальных унипотентных подгpупп гpуппы G. Оpисфеpы общего положения обpазуют одноpодное пpостpанство R(X)=G/S, котоpое мы будем называть пpостpанством оpисфеp, или пpеобpазованием Радона пpостpанства X. Оно имеет ту же pазмеpность, что и X. Более того, алгебpа K[R(X)] полиномиальных функций на R(X) (K=C или R) имеет ту же G-модульную стpуктуpу, что и алгебpа K[X]. Однако, в отличие от X, пpостpанство R(X) является (мульти)конусом в том смысле, что алгебpа K[R(X)] допускает G-инваpиантную неотpицательную (Zx...xZ)-гpадуиpовку (число множителей pавно pангу пpостpанства X), нулевая компонента котоpой одномеpна (и, следовательно, все компоненты конечномеpны). Напpимеp, пpеобpазованием Радона пpостpанства Лобачевского является квадpатичный конус. Более того, пpедставления гpуппы G на компонентах гpадуиpовки непpиводимы. В pамках общей концепции стягивания G-пpостpанств, pазвитой В.Л.Поповым, пpостpанство R(X) может быть описано как откpытая оpбита в пpостpанстве, получаемом стягиванием пpостpанства X.
Пpеобpазованием Радона достаточно быстpо убывающей функции f на X называется функция на R(X), значения котоpой pавны интегpалам функции f по соответствующим оpисфеpам. Гельфанд и Гpаев (1959) показали, что пpеобpазование Радона функций устанавливает G-модульный изомоpфизм между пpостpанствами функций с интегpиpуемым квадpатом модуля на X и на R(X).
Докладчиком обнаpужена неожиданная связь между гамильтоновыми механиками с конфигуpационными пpостpанствами X и R(X). А именно, оказалось, что кокасательное pасслоение пpостpанства R(X) допускает G-эквиваpиантное симплектическое pациональное накpытие над кокасательным pасслоением пpостpанства X.
Строится явно некоторое однопараметрическое семейство мер на пространстве (иногда непрерывных, иногда обобщенных) функций на окружности (при одном из значений параметра эта мера дает обычное броуновское движение). Для построения используется стандартная конструкция И.Сигала "меры на гильбертовом пространстве, инвариантной относительно группы вращений" (для ее понимания не требуется никаких теоретико-вероятностных познаний).
Далее строятся действия группы диффеоморфизмов окружности на этих функциональных пространствах, относительно которых мера остается квазиинвариантной. Оказывается, что эргодические свойства этого действия зависят от значений параметра, и при некоторых неравенствах на параметр действие имеет явно выписываемые первые интегралы.
Это дает большой набор квазиинвариантных действий группы диффеоморфизмов окружности (и групп петель), а следовательно и большой набор представлений этих групп.
Получаемый набор представлений включают себя или пересекаются с представлениями со старшим весом, "energy representations" (Вершик--Гельфанд--Граев и Hoegh-Krohn and $K^\circ$), конструкцией Шавгулидзе, и некоторыми другими конструкциями (хотя сами по себе эти теории выглядят вполне изолированными друг от друга).
В докладе (по совместной работе с С.Блохом и Э.Эно) объясняется формула произведения для оного детерминанта аналогичная разложению глобальной константы функционального уравнения в произведение локальных эпсилон-множителей.
Около 20 лет назад В.П.Маслов выдвинул соображения о том, что многие квазилинейные гиперболические системы допускают лишь конечное число особых решений, находящихся в общем положении, причем этим решениям соответствуют такие катастрофические явления, как волны цунами, тайфуны и т.д.
Реализация этих соображений для точечных вихревых особенностей системы уравнений мелкой воды привела к динамическим системам, обладающим исключительно любопытными свойствами типа интегрируемости. Об этих свойствах и появляющихся в связи с ними новых задачах из математической физики и теории динамических систем будет рассказано в докладе.
Никаких специальных знаний не требуется.
Cohomology of Lie algebras is an interesting invariant. At least, it is of interest to some of mathematicians. Physicists gradually also became aware of the role of various cohomologies, conferences with titles like "Cohomological physics" started to mushroom. One of the interesting applications is an interpretation of the Riemann tensor in terms of certain Lie algebra cohomology.
Starting with this interpretation I will talk about similar cohomology that stand in the left hand side of Supergravity Equations (whatever that might be), and how these SUGRA eqs. are related to one of the main ideas of Hertz and what this idea was.
A theoretically possible byproduct is a study of stability of various nonholonomic systems, i.e., systems with nonintegrable constraints on velocities, like bicycle (Obviously, the tangency point of the wheel with asphalt has zero velocity and it turns out that this constraint is nonintegrable). There is one catch: the volume of computations is appalling and help of intelligent computer scientists is a must. I will briefly mention some of the problems, and gladly discuss the details after the lecture.
Finally, the most intriguing part: possible application to the so-called economics. Fortunately, to understand the main idea of this application, one does not have to know what economics is, few facts from Peryshkin's text book on physics (or its modern equivalent) and notion of partial derivative will suffice.
For a more mathematically oriented version of the talk and less vague open problems come to Vinberg-Onishchik's seminar (14.03.2001 at 16.20, room 13-06 MSU).
Самая элементарная по постановке (но не по решению) задача о предельной форме такова: как выглядит в пределе по измельчающейся плоской решетке типичный выпуклый многоугольник с вершинами на решетке, имеющий единичную площадь? Оказывается, что ответ (довольно неожиданный) имеет отношение к геодезическим в смысле аффинной геометрии.
Подобные задачи возникают в геометрии, теории представлений, теории вероятностей, теории чисел, статистической физике и комбинаторике. Решены лишь немногие двумерные задачи и одна-две трехмерные.
(Доклад никаких предварительных знаний не требует.)
Полином, аргументами которого являются n векторов размерности m, называется (n,m)-полисимметрическим, если его значения не зависят от перестановок аргументов. В случае m = 1 такие полиномы называются симметрическими. Любой (n,m)-полисимметрический полином является полиномом от,так называемых, элементарных (n,m)-полисимметрических полиномов. В случае m > 1, в отличие от m = 1, между элементарными полисимметрическими полиномами имеются алгебраические соотношения.
К задаче описания алгебраических многообразий всех (n,m)-полисимметрических полиномов сводятся многие фундаментальные вопросы, в том числе и самые современные, теории представлений, комбинаторики, теории абелевых функций, теории интегрируемых систем и т.д.
Несмотря на почтенный возраст, эта задача до сих пор практически не решена, за исключением нескольких частных случаев.
В центре внимания доклада будет открытый недавно автором и Элмером Рисом (Elmer Rees, Edinburgh University) подход к эффективному решению этой задачи. Подход опирается на функционально-алгебраическую конструкцию n-ых симметрических степеней пространств.
В основе конструкции лежит введенное нами понятие n-гомоморфизма колец, подсказанное развитием теории многозначных отображений и, в первую очередь, теории многозначных групп. При n = 1 это обычные кольцевые гомоморфизмы и конструкция превращается в преобразование Гельфанда, сопоставляющее пространству X пространство кольцевых гомоморфизмов кольца функций на X в поле комплексных чисел. Оказалось, что n-гомоморфизмы описываются условием обрыва на (n+1)-ом шаге алгебраической рекурсии. Таким образом, пространство n-гомоморфизмов задается как алгебраическое подмногообразие в линейном пространстве линейных гомоморфизмов. Эта рекурсия аналогична той, при помощи которой Фробениус ввел n-характеры и построил теорию представлений конечных групп.
Все основные определения будут даны в ходе доклада.
Тринадцать лет назад В.И.Арнольд сформулировал следующую проблему. Пусть $U$ -- связная область в проективном $n$-мерном пространстве с гладкой границей, вторая квадратичная форма которой всюду невырождена и имеет сигнатуру $(k,n-k-1)$ (т.е. форма положительно определена на некотором $k$-мерном пространстве и отрицательно определена на некотором $(n-1-k)$-мерном пространстве). Верно ли, что внутри области $U$ существует $(n-1-k)$-мерное проективное пространство, а в ее дополнении существует $k$-мерное проективное пространство ? Известно, что для $k=0$ ответ положителен, т.е. что существует проективная гиперплоскость, не пересекающая связную строго выпуклую область $U$. Для остальных $k$ проблема до сих пор не решена.
В.И.Арнольд предложил также аффинный вариант проблемы. В нем ставится тот же вопрос для связных гиперповерхностей в аффинных пространствах с фиксированным асимптотическим поведением на бесконечности.
В совместной работе с Д.И.Новиковым мы показали, что для одних типов асимптотического поведения аффинная проблема решается положительно, а для других типов отрицательно. Положительный результат основан на своеобразном принципе максимума, а отрицательный результат -- на явной конструкции контрпримера. Контрпример -- это явно построенная гиперболическая поверхность с некоторыми специальными свойствами. Мы доказали, что поверхностей с такими свойствами в $RP^3$ нет. Тем самым, для специального класса гиперповерхностей в $RP^3$ проективная проблема Арнольда решается положительно. Доказательство этого последнего факта очень сложное (45 страниц печатного текста).
Чуть больше 40 лет назад я, будучи студентом, оказался слушателем одного из первых докладов И.М.Гельфанда о новой области математики - интегральной геометрии. Меня поразило предсказание, что ключ к многомерному гармоническому анализу не в группах Ли, но в некоторых геомерических структурах, которые предстояло понять. Орисферы на симметрических пространствах (обобщения орициклов Лобачевского) были первым удивительным шагом в этом проекте. Что оправдалось и что удалось сделать нового за эти 40 лет? Я хочу обсудить несколько ключевых сюжетов, начиная с первой работы Гельфанда - Граева до сравнительно недавно полученных результатов.
