На этой странице собрана информация о докладах на общеуниверситетском семинаре "Глобус" в весеннем семестре 2003 года.
What follows is the list of talks at the IUM general seminar ``Globus'' delivered during spring semester, 2003. For most of the talks abstracts in Russian are given, an for some (those for which lecturer's name in English is present) there are lecture notes in postscript format.
Идея, что с алгебраическими многообразиями можно связать вертексные алгебры, пришла из квантовой физики (теории струн). Вертексная алгебра - это основной объект двумерной конформной теории поля. В докладе будет обсуждаться это и связанные с ним понятия, и их взаимоотношение с характеристическими классами, как например класс Понтрягина.
Этот доклад основан на совместной работе с С.Шлосманом.
Сама Пуассоновская Гипотеза касается поведения больших систем, строго говоря она неверна для "почти всех" конечных систем и (иногда) становится верной при подходящем предельном переходе. Рассмотрим работу "большой" сети, состоящей из большого числа обслуживающих устройств и очередей к ним, в которых находятся многие путешествующие по сети (очередям) требования. Предполагается, что если обслуживающее устройство (узел) занято обслуживанием какого-либо требования, то поступающее в этот момент в узел новое требование становится в очередь к этому узлу. Возникает естественный вопрос, - как найти стационарное распределение P(i) в произвольном узле i, - как найти стационарное распределение длины очереди, среднее время пребывания в этом узле и т.д. Пуассоновская Гипотеза дает следующий рецепт, позволяющий проделать явные вычисления для "приближенного" нахождения этих величин: обозначим через F суммарный поток требований,
Мы доказали Пуассоновскую Гипотезу для следующего естественного класса симметричных замкнутых сетей: имеется M узлов (очередей) и N требований (константа N не зависит от времени), путешествующих по этим узлам. Время обслуживания любого требования в любом узле является случайной величиной с фиксированным распределением (не зависящим ни от номера узла, ни от номера требования) обозначаемым через U. После того, как требование покидает узел, в котором оно обслуживалось, оно равновероятно (с вероятностью 1/M) выбирает следующий узел, в конец очереди на который оно и поступает. Обслуживаются лишь требования, находящиеся на первых местах очередей (остальные ждут).
Для этого класса сетей доказано следующее: пусть M,N стремятся к бесконечности так, что M/N сходится к константе. Тогда Пуассоновская Гипотеза верна.
Доказательство основано на специальном свойстве "диссипативности" сложных мерозначных динамических систем, описывающих нелинейные марковские процессы. Основной результат следует из того факта, что у наших динамических систем имеется неподвижная точка, являющаяся глобальным атрактором. Неожиданно, этот факт основан на новой комбинаторной лемме.
D. Boyd et.al. found many examples of elliptic curves (embedded in a projective plane) for which the Mahler measure of the defining polynomial equals up to a rational factor the leading coefficient at 0 of the L-function of the elliptic curve (at least to many decimal places). F. Rodriguez Villegas and C. Deninger related these experimentally obtained results to the famous conjectures of Bloch and Beilinson. Crucial for this relation is a certain differential 1-form on a C*-bundle over the elliptic curve, produced by the regulator map. The examples come in 1-parameter families. Some of these families have also appeared in the physics literature on Seiberg-Witten theory for elliptic curves. Intriguingly, the instanton expansions in the physics papers can be reproduced from the periods of the above differential form. In the talk I will give a very concrete description of that C*-bundle with 1-form and of the Picard-Fuchs equations for its periods.
В последние годы среди математиков усилился интерес к современной "геномной" биологии. Помимо прочего, этот интерес, по-видимому, связан с расшифровкой геномов многих видов, включая человека, другими достижениями биотехнологии, приведшими к накоплению больших банков важных для биологии и более или менее формализованных данных. Тем самым, потенциально в биологии расширяется поле для использования формальных методов - методов математики и информатики.
В докладе будут затронуты две темы. Первая - краткий обзор состояния проекта "геном человека" и результатов анализа генома: состав генома, проблема идентификации генов, сравнение геномов разных видов и восстановление эволюции и др.
Вторая тема касается загадки того, как некоторые белки распознают определенные короткие "слова" на ДНК. Есть ли простой "код узнавания" типа: белок с такой-то последовательностью аминокислотных остатков узнает такую-то последовательность ДНК? Энтузиазм 20-летней давности по поводу существования такого кода утих. Тем не менее, белки безошибочно связываются с определенными участкими ДНК, например, для регуляции того, какие гены должны выключаться в данном состоянии клетки.
Экспериментальные данные, позволяющие многое объяснить (но крайне редко - предсказать последовательность ДНК, которую узнает белок!) - это рентгено-структурные расшифровки пространственных структур комплексов ДНК с белками.
Одна из возникающих трудностей - сложная геометрия ДНК (на каждую пару комплементарных оснований приходится 17 степеней свободы) и отсутствие адекватного языка для описания геометрии таких комплексов.
Предварительных знаний не предполагается.
Интуиционистское направление в математике возникло в работах Брауэра, а также Кронекера, Вейля и других. Согласно Брауэру, интуиционистская истинность есть ничто иное, как доказуемость. Нетрудно видеть, что, скажем, логический закон исключенного третьего ``А или не А'' неверен интуиционистски, т.к. утверждает, что для любого высказывания либо оно само, либо его отрицание доказуемо.
В начале 1930-х годов Колмогоров и Гейтинг предложили неформальное определение интуиционистской истинности по Брауэру на основе понятия доказательства; это определение стало общепринятой семантикой для интуиционистской логики. Естественная математическая задача нахождения точной формулировки для семантики Брауэра-Гейтинга- Колмогорова привлекла большое внимание специалистов.
Принципиальное продвижение было сделано в работах Геделя 1933 и 1938 годов, однако, задача оставалась нерешенной из-за возникших трудностей, казавшихся непреодолимыми. Позже были найдены другие, искусственные модели интуиционистской логики, которая выросла в мощную математическую дисциплину, тесно связанную с приложениями. Безуспешность попыток найти точную доказуемостную семантику интуиционистской логики поддерживала идею о необходимости новых оснований математики.
Докладчику удалось, соединив результаты Геделя и современную технику теории доказательств, завершить решение задачи о классической доказуемостной семантике для интуиционистской логики, начатое Геделем. Значение найденной при этом логики доказательств выходит за пределы оснований математики. Она устанавливает неожиданную связь между ранее далекими разделами логики и дает новый математический аппарат, вызывающий значительный интерес со стороны Computer Science.
Внеочередное заседание!
Let X be a Riemmann surface, i.e a genus g surface with a complex structure, and let \Gamma be its fundamental group. To each n-dimensional representation \rho:\Gamma -> GL(n,C) corresponds a rank n holomorphic bundle E(\rho) on X. Its total space is (\tilde{X}\times C^n)/\Gamma, where \tilde{X} is the universal cover of X, where \Gamma acts diagonally on \tilde{X}\times C^n and where the action on the second component C^n is determined by \rho. It is natural to ask:
Among all holomorphic vector bundles on X, which are those isomorphic to E\simeq E(\rho) for some \rho:\Gamma -> GL(n,C)?
Using the Riemann-Hilbert correspondance, it is equivalent to the following question:
When does E admit an holomorphic connection?
A.Weil gave a complete answer to this question. Since the curvature of any holomorphic connection vanishes, its first Chern class c_{1}(E) vanishes. Conversely, A.Weil has shown that if E is indecomposable (i.e. is not a direct sum) and if c_{1}(E)=0, then E admits an holomorphic connection.
However this holomorphic connection is not unique. In Weil's statement, the space of holomorphic connection is an affine space of dimension \geq 1+(g-1)n^2. The next question is:
Out of these connections, could we single out one nicest connection?
This question has been answered by Narashiman and Seshadri [NS1,NS2]. Their solution requires the notion of stability, which is now recalled. Indeed we will use the terminology "stable" instead of "stable of slope 0". An holomorphic vector bundle E is called stable if c_{1}(E)=0, but c_{1}(F)<0 for any proper subbundle F. Here the meaning of the condition "c_{1}(F)<0" is explained by the natural identification H^{2}(X)\simeq Z. Narashiman and Seshadri theorem states that a stable bundle E admits a unique hermitian holomorphic connection, i.e. E is isomorphic to E(\rho) for a unique unitarisable representation \rho (i.e. Im\rho is a compact subgroup of GL(n,C)).
In order to raise our last question, we need some new hypotheses. Let K be a number field, let X be a complete curve of genus g and let E be a stable vector bundle. The notion of stability is defined in this context, using the degree instead of the first Chern class. Obviously, we can reformulate Narashiman and Seshadri theorem: for each embedding \sigma: K -> C, there is a unique hermitian connection on the bundle C\otimes E over X\times_{K} C. Therefore to each infinite place of K is attached a certain connection.
What about finite places of K?
In the talk, we will explain the result obtained in [M], which is an answer to the last question. A similar statement for finite places of K is proved. Also, a conjecture about the algebraicity of the solutions of certain differential equations is stated.
Bibiography:
[M] O.Mathieu: Connections on stable bundles, preprint
[NS1] M.S.Narasimhan and C.S.Seshadri: Holomorphic vector bundles on a compact Riemann surface. Math. Ann. 155 (1964) 69-80.
[NS2] M.S.Narasimhan and C.S.Seshadri: Stable and unitary vector bundles on a compact Riemann surface. Ann. of Math. 82 (1965) 540-567.
В докладе излагаются результаты совместной работы с Г.А.Кошевым. Предлагается обсудить задачу Хорна о спектре суммы двух вещественных симметрических (или эрмитовых) матриц, если известны спектры этих матриц. Эта задача была решена А.Клячко в 1996 г. Мы предлагаем несколько иную формулировку ответа на задачу Хорна и значительно более элементарное доказательство. Наш ответ состоит в том, что существование нужной тройки матриц $(A,B,C)$ для заданных $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ эквивалентно существованию т.н. дискретно вогнутой функции на треугольном гриде $\Delta (n)$ с граничными приращениями $\alpha ,\beta ,\gamma $.
Мы предлагаем также гипотетическое объяснение связи симметрических матриц с дискретно вогнутыми функциями. А именно, по паре $(A,B)$ симметрических матриц мы строим некоторую функцию $\phi (A,B;\cdot )$ на гриде $\Delta (n)$. Наша гипотеза состоит в том, что эта функция дискретно вогнута.
В первой части доклада будет рассказано, как разностные уравнения Пенлеве возникают в задачах о распределении длины наибольшей возрастающей подпоследовательности в случайных словах и перестановках.
Затем мы покажем, как эти уравнения укладываются в более общую схему изомонодромных преобразований линейных систем разностных уравнений.
каждой локально компактной группой канонически связано так называемое регулярное представление, которое реализуется в пространстве L^2 по мере Хаара на группе. Разложение регулярного представления есть предмет гармонического анализа на группах, который можно рассматривать как некоммутативную версию классической теории рядов и интегралов Фурье.
В докладе будет рассказано, как формулировать и решать задачу гармонического анализа на бесконечномерных (не локально компактных) группах, для которых понятие меры Хаара и регулярного представления теряет смысл. Оказывается, что интересующую нас задачу можно свести к вероятностной модели, похожую на некоторые модели матфизики и теории случайных матриц.
Специальных сведений для понимания доклада не требуется. Доклад основан на недавних работах А. М. Бородина и лектора (в печати), имеющихся в электронном архиве arXiv.org:
1. G. Olshanski, The problem of harmonic analysis on the infinite-dimensional unitary group; arXiv: math.RT/0109193.
2. A. Borodin and G. Olshanski, Harmonic analysis on the infinite-dimensional unitary group and determinantal point processes; arXiv: math.RT/0109194.
Понятие эндоскопии было введено Робертом Ленгледсом с целью доказать, посредством сравнения нескольких различных формул следа, несколько частных случаев общего утверждения о "функториальности" автоморфных представлений. Центром этой теории оказалась проблема, названная Ленглендсом "фундаментальной леммой". Это комбинаторное утверждение остается и сегодня недоказанной гипотезой, кроме как в нескольких частных случаях. Недавно Джеймс Артур показал, что из наиболее общей формы фундаментальной леммы следует возможность распространения всех автоморфных представлений с классических групп на линейные.
В последние десять лет Горецки, Коттвиц и МакФерсон разработали геометрический подход к фундаментальной лемме. Мы расскажем о важных продвижениях, полученных в работах этих трех авторов и в недавней работе Ломона.
Наряду со стандартными подходами к квантовой теории поля, основанными на вычислении функционального интеграла или решении уравнения Шредингера, существует еще один, исходящий из общих принципов, таких как принципы унитарности, причинности, аналитичности, лоренц-инвариантности и т.д.
В двумерной конформной и интегрируемой теории поля к общим принципам добавляется требование инвариантности относительно алгебры Вирасоро и (или) некой квантовой группы. После этого совокупность аксиом становится столь жесткой и конструктивной, что в ряде случаев удается достичь решения соответствующей квантовой теории поля, то есть определить алгебру локальных операторов, а также вычислить явные выражения для вакуумных средних их произведения (функции Грина) и (или) амплитуды рассеяния частиц, из которых состоит спектр.
Пусть X- комплексное многообразие и W-дискретная группа его автоморфизмов. Преобразование w из группы W называется отражением,если множество его неподвижных точек непусто и имеет комплексную коразмерность 1. Многолетние наблюдения показали,что в тех случаях,когда группа W порождается отражениями, факторпространство X/W обладает простой структурой. Например:
X-комплексное векторное пространство, W-конечная группа линейных преобразований X, порожденная отражениями. Тогда юбилейная (около 1953г) теорема Шевалле утверждает,что X/W-комплексное аффинное пространство; X -верхняя полуплоскость,W -фуксова кокомпактная группа,порожденная отражениями.В этом случае факторпространство X/W есть сфера Римана (А.Пуанкаре,около 120 лет тому назад).
В докладе будет обсуждаться следующая ситуация: X-аффинное комплексное пространство, W-кристаллографическая группа аффинных преобразований,порожденная отражениями. Есть гипотеза(И.Бернштейн, О.Шварцман, около 1976 г.), что в этом случае X/W изоморфно взвешенному проективному пространству. Часть этой гипотезы стала теоремой усилиями И.Бернштейна,В.Каца,Э.Лойенги, Д.Петерсона и докладчика (80 годы).
А потом пришел праздник и на эту улицу - на теорему обратили внимание физики...
Derived categories were invented at the beginning of the sixties by Grothendieck and his pupil Verdier in order to formulate the duality theory for schemes which Grothendieck had conceived of. In the eighties, it turned out that derived categories not only provide an elegant language in which to formulate homological algebra but are important mathematical objects in themselves. One of the main reasons for this is that they can be considered as higher invariants associated with rings, varieties ... and that they determine all of the classical homological and homotopical invariants. An example of such a classical invariant is the Hochschild cohomology algebra.
In this talk, we give an introduction to derived categories and the notion of derived equivalence. We illustrate it with examples taken from representation theory and algebraic geometry. We then recall the definition of Hochschild cohomology and its Lie algebra structure due to Gerstenhaber. We sketch a proof of the derived invariance of this structure by interpreting it as the Lie algebra of a generalized algebraic group, the derived Picard group. This group can be thought of as the group of outer automorphisms of the derived category. In many examples, information on its global structure has been obtained using Kontsevich's mirror symmetry conjecture (work by Horja, Khovanov, Seidel, Thomas ...). Our final result yields a complete understanding of its infinitesimal structure.
За несколько десятилетий мы так и не приблизились к ответам на фундаментальные вопросы типа P=?NP. Но появились существенные, хотя и расплывчатые, намёки: связи между недетерминированными и вероятностными вычислениями.
Я приведу несколько примеров разного уровня сложности, полученных разными авторами. Один из них: порождение псевдослучайных последовательностей с помощью сложных задач типа NP (односторонних функций). Обратный пример: простое решение достаточно общих недетерминированных задач (проверка правильности доказательств или вычислений) с помощью случайных битов.
Краткое изложение этих примеров (без технических деталей) см. здесь и здесь.
Контактная геометрия - это нечетномерный аналог симплектической геометрии. Стандартное (2n-1)-мерное пространство можно рассматривать как фазовое пространство частицы в R^n, если ограничиться только координатами и направлением движения. Траектории частиц - это "лежандровы кривые". Мы будем рассматривать случай n=2. Выражаясь математическим языком, лежандрова кривая в R^3 - это кривая x=x(t), y=y(t), z=z(t), удовлетворяющая уравнению yx'-z'=0. Лежандровы кривые могут быть замкнутыми и несамопересекающимися; в этом случае они называются "лежандровыми узлами". Теория лежандровых узлов похожа на обычную теорию узлов, и имеются классические (Bennequin, 1982) и недавно найденные (Чеканов, Элиашберг, 1997) инварианты лежандровых узлов. В совсем недавних исследованиях обнаружилось одно специальное свойство узлов, которое можно легко проверить, глядя на диаграмму узла (это свойство означает, что диаграмма может быть разложена на циклы, удовлетворяющие нескольким просто формулируемым условиям). Имеется пара теорем и несколько гипотез, связывающих эту загадочную структуру с совершенно другими разделами топологии и контактной геометрии. Докладчик озадачен.
Никаких знаний о теории узлов или контактной геометрии не предполагается.
Связи между теорией вероятностей и анализом полезны для обеих областей. Сначала в основном теория вероятностей использовала результаты из анализа; позднее вероятностный подход стал отправным пунктом исследований для аналитиков (и физиков). Общеизвестно, что развитие анализа в большой степени мотивировалось физическими задачами; в отличие от физики, теория вероятностей доставляет не только интуицию, но и строгие математические методы доказательства теорем.
Основная тема доклада - связи между уравнениями в частных производных и марковскими процессами (случайными блужданиями, броуновскими и супер-броуновскими движениями). Уже в 1920-е годы случайные блуждания использовались при анализе граничных задач для уравнения Лапласа. Но лишь развитие теории случайных процессов и связанной с ней теории меры на функциональных пространствах превратили теорию вероятностей в мощное средство решения задач. Броуновское движение и диффузия тесно связаны с теорией линейных эллиптических и параболических дифференциальных уравнений. Развитый в последние 10-15 лет подход вероятностный подход к нелинейным уравнениям использует супер-броуновские движения (и супер-диффузии) как модели случайной эволюции облака частиц. Несколько примеров применения этого подхода к дифференциальным уравнениям будут разобраны в докладе.
