И.М.Парамонова

Группы Ли и метод орбит

Курс состоит из двух частей и рассчитан на студентов, начиная со второго курса.

Первая часть является продолжением спецкурса "Введение в алгебры Ли", прочитанного в первом семестре, и может быть названа "Введение в группы Ли". В ней будут рассмотрены вопросы:

Основные определения и примеры: группа Ли, подгруппа Ли, гомоморфизм, представление и действие группы Ли.
Орбиты и стабилизаторы. Введение гладкой структуры на множестве смежных классов. Факторгруппа.
Лево- и правоинвариантные тензоры на группе Ли. Существование инвариантной формы объема на компактной группе Ли.
Четыре определения алгебры Ли данной группы Ли. Присоединенное представление.
Касательный гомоморфизм и касательное представление. Теоремы существования и единственности для гомоморфизмов групп Ли. Экспоненциальное отображение. Описание связных групп Ли с данной алгеброй Ли.
Простые, полупростые, разрешимые и нильпотентные группы Ли.

Вторая часть посвящена методу орбит. Последние два года создатель метода орбит, профессор А.А.Кириллов, рассказывает на "Студенческих чтениях" о применении метода орбит за пределами групп Ли. В настоящем курсе предполагается изложить классический вариант метода орбит. Будут рассмотрены следующие вопросы:

Индуцированные представления групп Ли.
Коприсоединенное представление, симплектическая структура на орбитах. Отображение момента.
Метод отбит для нильпотентных групп Ли: описание неприводимых унитарных представлений нильпотентных групп Ли, связь с орбитами, задачи ограничения и индуцирования.
Метод орбит для других типов групп Ли.