Примеры механических систем. Системы со связями, принцип Даламбера -- Лагранжа.
Вариационное исчисление. Простейшая задача, уравнение Эйлера. Вариационная производная. Инвариантность уравнений Эйлера при замене координат. Условный экстремум.
Принцип наименьшего действия, его эквивалентность принципу Даламбера -- Лагранжа. Уравнения движения в обобщенных координатах.
Циклические координаты, законы сохранения. Примеры: движение в центральном поле, малые колебания, движение твердого тела.
Вариационные задачи в параметрической форме. Аналогия с геометрической оптикой: распространение возбуждения в неоднородной среде. Принцип Ферма. Волновые фронты.
Принцип Гюйгенса. Сопряженное нормированное пространство. Уравнение Гамильтона -- Якоби. Форма p dq. Вариационный принцип по p,q. Канонические уравнения. Симметрии и законы сохранения.
Возвращение к непараметрической вариационной задаче. Преобразование Лежандра. Канонические уравнения Гамильтона. Форма p dq - H dt. Вариационный принцип по p,q. Принцип наименьшего действия Мопертюи. Теорема Нетер. Уравнение Гамильтона -- Якоби.
Скобка Пуассона и гамильтоновы фазовые потоки. Симплектическая структура. Канонические преобразования, интегральные инварианты, теорема Лиувилля об об'еме.
Приложения: теорема Пуанкаре о возвращении лдя гамильтоновых систем, параметрический резонанс (качели).
Действие как производящая функция канонического преобразования. Уравнение Гамильтона -- Якоби, лагранжевы многообразия и слоения.
Метод характеристик интегрирования нелинейных уравнений первого порядка в частных производных.
Метод Якоби интегрирования канонических уравнений Гамильтона. Пример: геодезические на эллипсоиде.
Интегрируемые системы. Теорема Лиувилля -- Арнольда. Переменные действие -- угол. Примеры: геодезические на эллипсоиде, волчок Лагранжа.
Возмущения интегрируемых систем (?).
