Предполагается, что занятия будут 2 раза в неделю с начала семестра до 21 марта.
Предполагается некое знакомство с алгебраической геометрией (в первой части книги Шафаревича содержится все необходимое). Вдобавок, во второй половине курса будут временами использоваться производные категории.
1. Лемма о b-функции. Так называется следующее утверждение: для любого полинома $P(x_1,...x_n)$ с комплексными коэффициентами существует дифференциальный оператор $D$, коэффициенты которого есть полиномы от $x_i$ и от параметра $s$, такой что $$ D (P^s)=b(s)P^{s-1} $$ где $b(s)$ - многочлен.
Аналитическое продолжение семейства обобщенных функций $P^s$. Основное утверждение здесь такое: если $P$ - полином с вещественными коэффициентами и $Re\; s > 0$, $P^s$ - гладкая функция на $\bf{R}^n$. Так вот, оказывается, что если смотреть на нее, как на обобщенную функцию, зависящую от параметра $s$, то ee можно мероморфно продолжить (по $s$) на всю комплексную плоскость. Вдобавок ко всему, имеется топологическая итерпретация полюсов $P^s$.
2. Модули над кольцом дифференциальных операторов ($D$-модули). Теорема Кашивары. Операции над $D$-модулями. Голономные $D$-модули. Регулярные особенности. Соответствие Римана-Гильберта. Функтор близких циклов. Применения в теории представлений.
3. Иррегулярные особенности. Преобразование Фурье. Теорема Баранникова-Концевича: пусть $f: X\to \bf{A}^1$ - cобственное отображение из гладкого алгебраического многообразия. Утверждается, что гиперкогомологии комплексов
$$ ...\stackrel{d+df}{\longrightarrow}
\Omega^i_X\stackrel{d+df}{\longrightarrow}
\Omega^{i+1}_X ....$$
$$...\stackrel{df}{\longrightarrow}
\Omega^i_X\stackrel{df}{\longrightarrow}
\Omega^{i+1}_X...$$
имеют одинаковую размерность. Если $f=0$, получается обычная теорема Ходжа.
4. $D$-модули в характеристике $p$.
