Мы хотим рассказать на курсе два сюжета--формулу Концевича для деформационного квантования, полученную им в 1997 году, и одно обобщение теоремы Римана-Роха, полученное нами совсем недавно. А также мы собираемся обсудить связи между этими двумя темами.
Мы объясним сначала, в чем состоит задача деформационного квантования, и расскажем о явной формуле Концевича. Эта формула использует замысловатые интегралы по конфигурационным пространствам, называемые физиками интегралы Фейнмана. Она определяет некоторое умножение на функциях на $R^n$ которое, хотя и не коммутативно, но ассоциативно. Доказательство ассоциативности использует формулу Стокса--и все эти интегралы по конфигурационным пространствам оказываются "разгаданными".
Второй сюжет--это теорема Римана-Роха-Хирцебруха и ее обобщение. Классическая теорема выражает эйлерову характеристику голоморфного векторного расслоения на комплексном многообразии через разные характерестические классы на нем. С нашей точки зрения эйлерова характеристика--это суперслед единичного дифференциального оператора. Мы расскажем, как с помощью формальнои геометрии выразить через (новые) характерестические классы суперслед любого голоморфного дифференциального оператора в расслоении, не только единичного.
Третий сюжет, к которому мы будем возвращаться время от времени--это связи между первыми двумя и мотивировки из топологической квантовои теории поля, а также теорема формальности М. Концевича. Скорее всего, мы не успеем рассказать обо всех этих связях на курсе. Поетому при курсе будет семинар, на котором будут рассказываться более продвинутые вещи.
Для понимания курса требуются основы линейной алгебры, основы дифференциальной геометрии (включая интегралы дифференциальных форм), и совсем немного комплексной геометрии. На курсе будут предложены некоторые открытые исследовательские задачи.
Курс на русском языке.
