А.Б. Каток

Гиперболические динамические системы

Курс будет прочитан в Независимом Московском Университете и состоит из 8 двухчасовых лекций по 4 лекции в неделю:

Вторник, 14 мая ауд. 310	Понедельник, 20 мая ауд.308
Среда, 15 мая  ауд. 309	        Среда, 22 мая ауд.309
Четверг, 16 мая	ауд. 309	Четверг, 23 мая	ауд.309
Пятница, 17 мая	ауд. 309	Пятница, 24 мая	ауд.309
Начало лекций в 17:00.

Подготовительный материал содержится в книге:
А.Б.Каток, Б.Хассельблат, Введение в современную теорию динамических систем, Факториал, Москва, 1999, разделы: 1.7-1.9; 2.1-2.6; 3.1-3.2; 6.1-6.5.

По американской традиции лектор просит потенциальных слушателей зарегистрироваться на курс (что не влечет за собой никаких обязательств). Это можно сделать в учебной части НМУ.

Содержание курса:

Приводимый ниже список тем включает все воросы, которые могут быть рассмотрены в курсе. Некоторые из этих тем будут изложены детально с подробными доказательствами, другие в обзорном порядке, а часть вопросов, вероятно, будет опущена.

Различные типы гиперболического поведения в динамике.
Равномерная и неравномерная гиперболичность.
Примеры систем с дискретным временем: растягивающие отображения и диффеоморфизмы Аносова, подковы и гиперболические аттракторы.
Методы установления гиперболичности.
Мультипликативная эргодическая теорема и показатели Ляпунова.
Инвариантные системы конусов и инфинитезимальные функции Ляпунова.
Причины и механизмы, порождающие неравномерное поведение. Замедление движения, перепутывание устойчивых и неустойчивых направлений, разрывы отображений или их производных.
Примеры реализации этих механизмов в конкретных системах.
Основные вопросы топологической теории:
- Структура инвариантных множеств,
- Топологическая энтропия и рост числа периодических орбит.
Основные вопросы метрической теории:
- Эргодические свойства инвариантных гладких мер,
- Асимптотической распределение периодических орбит, построение мер с максимальной энтропией,
- Существование SRB мер (предельные распределения абсолютно непрерывных мер)
Геодезические потоки с гиперболическими свойствами:
- Отрицательная кривизна
- Неположительная кривизна
- Примеры на произвольных поверхностях и трехмерных многообразиях.
- Минимальные геодезические для произвольных метрик.
Непрерывные дроби, замкнутые геодезические на поверхностях постоянной отрицательной кривизны и кодировка по Гауссу и Морсу (Лекция будет прочитана Светланой Каток).