Ренормализация (иногда это слово переводят на русский буквально как ``перенормировка'') за последние годы стала одной из основных тем маломерной динамики. Приход ренормализации в динамику связан с замечательным открытием универсальных констант описывающих бифуркационные диаграммы динамических систем. Впервые такую константу обнаружил Митчелл Фейгенбаум в 1975 году. его наблюдение можно кратко описать следующим образом. Рассмотрим, например, однопараметрическое семейство отображений отрезка $[0,1]$ в себя заданное формулой $f_\lambda(x)=\lambda x(1-x)$, где $\lambda\in[0,4]$. Квадратичный полином $f_\lambda$ имеет единственный экстремум -- максимум в точке $1/2$, и отображает границу интервала $[0,1]$ в себя. Подобные отображения называют обычно унимодальными. При малых значениях $\ламбда$, отображение $f_\lambda$ -- сжимающее, и все орбиты в $[0,1]$ сходятся к единственной неподвижной точке $0$. По мере возрастания $\ламбда$ происходит бифуркация удвоения -- притягивающая точка 0 становится отталкивающей, и появляется новая притягивающая орбита, цикл периода $2$. Затем рождается притягивающий цикл периода 4, 8, и т.д. Назовем $\lambda_n$ значение параметра соответствующее рождению цикла периода $2^n$. Их предел -- параметр Фейгенбаума $\lambda_f$, при котором сосуществуют циклы всех периодов $2^n$, и отображение имеет на интервале $[0,1]$ хаотический аттрактор. Главное наблюдение фейгенбаума в следующем: $$\lambda_f-\lambda_n\sim a \cdot \delta^{-n},$$ где $a>0$, и $\delta=4,6692...$ Это константа фейгенбаума. Самое замечательное, что то же самое значение $\delta$ получается, если заменить рассматриваемое семейство на любое другое похожее семейство унимодальных отображений. Таким образом, $\delta$ -- это универсальная константа, наподобие чисел $е$ или $\пи$.
Фейгенбаум, и независимо от него Колле и Трессер дали концептуальное объяснение существования $\delta$, основанное на параллели с фазовыми переходами в статистической физике. Объяснение основано на свойствах некоторого оператора ренормализации, дей ствующего на унимодальных отображениях.
Благодаря работам многих математиков, в особенности Салливана, Дуади и Хаббарда, изучение ренормализационных операторов превратилось в один из основных методов изучения геометрических свойств бифуркационных диаграм в одномерной комплексной динамике, в особенности множества мандельброта. строгое доказательство универсальности фейгенбаума было недавно получено в последовательности работ Салливана, Макмюллена и Любича. в своем курсе я намереваюсь описать это доказательство и затронуть некоторые другие аспекты ренормализационной теории в одномерной динамике -- связь со структурой множества мандельброта, и полумистическую связь с фазовыми переходами в стат-физике.
