Цель спецкурса --- создать базу для дальнейшего знакомства с топологией четырехмерных многообразий --- красивой, глубокой и бурно развивающейся части математики (и физики), а также продемонстрировать основные методы геометрической и алгебраической топологии в их взаимодействии. Большинство идей четырехмерной топологии будет поясняться на доступных примерах (меньшей размерности). Однако поскольку элементарное изложение большей части планируемого материала либо труднодоступно, либо отстутствует, спецкурс может быть также интересен аспирантам. Для понимания спецкурса достаточно начальных знаний по топологии (например, в пределах полугодового вводного курса в НМУ плюс основы теории гомологий и топологии многообразий). Материал настоящего спецкурса не будет использовать и практически не будет повторять материал спецкурсов, ранее читавшихся А.Б.Скопенковым в НМУ.
Некоторые теоремы пунктов 2 и 3 на лекциях доказаны не будут; простые доказательства большинства из них могут быть обсуждены с наиболее продвинутыми слушателями.
1. Примеры четырехмерных многообразий. Хирургия Дена. Форма пересечений, сигнатура и характеристические классы четырехмерных многообразий.
2. Теорема Рохлина о сигнатуре. Инвариант Рохлина трехмерных гомологических сфер. Arf-инвариант узлов.
3. Кобордизмы четырехмерных многообразий. Теорема Хирцебруха о сигнатуре. Классификация четырехмерных многообразий с точностью до кобордизма. Теоремы Фридмана и Дональдсона о топологической и гладкой классификации четырехмерных многообразий. Экзотические гладкие структуры на $\R^4$.
4. Вложимость асферических двумерных полиэдров в $\R^4$. Препятствие ван Кампена к вложимости двумерных полиэдров в $\R^4$ и пример Фридмана-Крушкаля-Тайхнера его неполноты.
5. Кусочно-линейные вложения 4-многообразий. Теорема ван Кампена-Уитни о вложимости четырехмерных многообразий в $\R^8$. Препятствие Уитни к вложимости в $\R^7$ и критерии Хирша кусочно-линейной вложимости и Беша-Хэфлигера-Дональдсона гладкой вложимости. Препятствия Уитни и Понтрягина к вложимости в $\R^6$ и критерий вложимости Кэппела-Шейнсона (без доказательства).
6. Многомерные кольца Борромео и зацепление Уайтхеда. Классификация Зимана-Хэфлигера четырехмерных зацеплений в $\R^8$ и трехмерных зацеплений в $\R^6$.
7. Заузленные торы Хадсона. Классификация Хэфлигера-Хирша-Вебера вложений связных четырехмерных многообразий в $\R^8$. Классификация Беша-Хэфлигера вложений односвязных четырехмерных многообразий в $\R^7$. Классификация вложений $S^1\times S^3\to\R^7$.
8. Классификация гладких вложений $S^3\to\R^6$ и $S^4\to\R^7$. Трехмерный трилистник Хэфлигера и четырехмерный тор Хэфлигера. Препятствия Беша-Хэфлигера к сглаживанию вложений четырехмерных многообразий в $\R^7$.
