За последние 30 лет, взаимовлияние геометрии и физики было главным источником новых идей в математике; алгебраическая геометрия практически превратилась в раздел физики высоких энергий.
Основным языком этого синтеза стал язык кэлеровой геометрии. Кэлерова геометрия это наука, которая излагается в учебнике Гриффитса-Харриса "Основы алгебраической геометрии".
Гриффитс-Харрис писали свою книгу в начале 1980-х; с тех пор многие вещи (даже элементарные) стали гораздо понятнее, и изложить содержание их учебника можно гораздо проще.
Под влиянием струнной физики, центральное значение в математике приняли многообразия со специальной голономией (гиперкэлеровы, Калаби-Яу и другие), про которые Гриффитс-Харрис не рассказывают. Специальная геометрия изучается методами алгебраической геометрии, и принадлежит тому же кругу идей, что содержание "Основ алгебраической геометрии".
На курсе будут определены основные понятия кэлеровой геометрии, без которых ориентироваться в литературе невозможно; и изложены элементы теории специальных многообразий.
Приблизительное содержание такое:
От студентов требуется знакомство с основами анализа и топологии (гладкие многообразия, дифференциал де Рама, лемма Пуанкаре, теорема Стокса). Материала глав, помеченных звездочкой в учебнике В. А. Зорича "Математический анализ", вполне достаточно.
Еще требуется знание линейной алгебры (эрмитовы формы, тензорные произведения) и основ теории функций комплексного переменного (учебника Анри Картана более чем достаточно).
Полезно знакомство с основами дифференциальной геометрии (связности на расслоениях, связность Леви-Чивита, геодезические). Это изложено, например, в книжке Милнора "Теория Морса".
