А.М.Филимонов

Уравнения с частными производными

Комментарий

Этот курс можно рассматривать, как продолжение курса, прочитанного в предыдущем семестре. Однако, изложение материала почти не будет опираться на этот предыдущий курс. Необходимые сведения из предыдущего будут кратко напоминаться с указанием литературных источников, из которых можно почерпнуть детали. Необходимые сведения по функциональному анализу будут сообщаться по ходу изложения, так что последняя часть курса может служить элементарным введением в некоторые прикладные методы функционального анализа.

Метод "стоячих волн"

Схема метода Фурье: Идея и возникновение "Метода Фурье". Метод Фурье для уравнений с частными производными и для дифференциально - разностных уравнений. Примеры: струна и нить с бусинами, уравнение диффузии и цепь Маркова, уравнение Шредингера и его дискретный аналог. Особенности спектральных задач для ограниченных и неограниченных областей. Многомерный вариант метода Фурье. Можно ли узнать по звуку форму барабана?
Линейные уравнения высших порядков: Дисперсионные соотношения. Обобщения. Примеры. Спектры для дискретной цепочки и для непрерывной струны. Парадокс КМФ. Метод Фурье для нестрого гиперболических (в смысле Гординга) уравнений. Связь с линейным вариантом проблемы Ферми - Паста - Улама.
"Стоячие волны" в нелинейных задачах: Что из метода Фурье может пригодиться в нелинейных задачах? Сильно нелинейный вариант проблемы Ферми - Паста - Улама. Энергетические p-эллипсоиды. Связь с колмогоровскими поперечниками соболевских классов функций.

Вариационный метод

Принцип экстремального действия: Задачи. Интеграл Дирихле.
Задача о минимуме квадратичного функционала: Положительно определенные операторы. Энергетическое пространство. Обобщенное решение и его интерпретация. Простейший вариант теоремы вложения Соболева. Пример: уравнение четвертого порядка (уравнение Софи Жермен).
Вариационный подход в нелинейных задачах