Курс носит вводный характер и сопровождается большим количеством модельных примеров и физических интерпретаций. Настоящий курс можно рассматривать, как продолжение курса, прочитанного в предыдущем семестре. Однако, изложение материала почти не будет опираться на этот предыдущий курс. Необходимые сведения из предыдущего будут кратко напоминаться с указанием литературных источников, из которых можно почерпнуть детали. Необходимые сведения по функциональному анализу будут сообщаться по ходу изложения, так что последняя часть курса может служить элементарным введением в некоторые прикладные методы функционального анализа. Курс этого семестра можно будет сдавать как отдельный курс.
Метод "бегущих волн". Факторизация одномерного волнового оператора. Обобщения. Пример: система Дирака. Волны от движущегося источника. Что будет, если скорость движения источника выше скорости звука? Общее понятие гиперболичности. Гиперболические квазилинейные уравнения и системы. Дивергентная форма записи, ударные волны.
Метод "стоячих волн". Спор о струне между Эйлером, Д'Аламбером, Бернулли и Лагранжем. Метод Фурье. Можно ли узнать по звуку форму барабана? Особенности спектральных задач для ограниченных и неограниченных областей. Связь возможности разделения переменных и симметрия области. Преобразование Фурье и его применение. Линейные уравнения высших порядков. Парадокс КМФ. Связь с линейным вариантом проблемы Ферми - Паста - Улама.
"Стоячие волны" в нелинейных задачах. Что из метода Фурье может пригодиться в нелинейных задачах? Сильно нелинейный вариант проблемы Ферми-Паста-Улама. Связь с колмогоровскими поперечниками соболевских классов функций.
Вариационный метод. Принцип экстремального действия. Задача о минимуме квадратичного функционала. Энергетическое пространство. Обобщенное решение и его интерпретация. Простейшие варианты теорем вложения Соболева. Следы. Пример: уравнение четвертого порядка (уравнение Софи Жермен). Экстремальные свойства собственных значений. Метод Ритца. Вариационный подход в нелинейных задачах.
