В.А.Гордин

Прикладная математика

Программа курса

Симметричные положительно-определенные системы линейных алгебраических уравнений. Метод квадратного корня.
Первые интегралы для обыкновенных диф. уравнений. Фазовый портрет. Уравнение Кортевега - де Вриса. Решения типа бегущей волны.
Квадратурные формулы и многочлены Лежандра.
Метод стационарной фазы для асимптотического вычисления интегралов от быстроосциллирующих и быстро убывающих функций. Леммы Эрдейи и Ватсона (без доказательства).
Многочлен, наименее удаленный в узлах от заданных значений. Задача линейного программирования.
Теоремы Чебышева и Валле-Пуссена. Многочлены Чебышева как решения диф. уравнения.
Вариационные задачи. Уравнения Эйлера и Якоби. Условия трансверсальности. Сопряженные точки и положительная определенность. Функционалы со старшими производными. Функционалы с частными производными. Условия трансверсальности. Вариационное согласование. Условный экстремум при интегральных и локальных ограничениях и множители Лагранжа. Принцип наименьшего действия. Оптимизация формы маятника. Задача Дидоны. Брахистохрона. Возможность негладких экстремалей. Вариационное согласование зашумленных данных и связь с методом наименьших квадратов. Интерполяционный кубический сплайн, как решение вариационной задачи. Численные методы определения минимума гладкого функционала (без доказательств).
Операционное исчисление. Примеры использования для точного решения уравнений и вычисления асимптотик.
Число граничных условий для краевых смешанных задач для уравнений в частных производных.