М.Э.Казарян

Дифференциальная геометрия (2 курс)

Программа

Кривые на плоскости и в пространстве.: Длина кривой. Кривизна. Окружность кривизны. Эволюта. Кручение. Формулы Френе.
Поверхности в трехмерном пространстве.: Риманова структура. II квадратичная форма. Главные кривизны. Фокальное множество. Омбилические точки. Гауссова кривизна. Геометрия сферы и псевдосферы.
Топологическая связность.: Расслоения. Тривиализации. Топологическая связность как инфинитезимальный параллельный перенос. Распределения. Критерий интегрируемости (теорема Фробениуса). Плоская связность. Кривизна.
Связность в $S^1$-расслоении.: 1-форма связности в $S^1$-расслоении. Форма кривизны. Параллельный перенос касательных векторов на поверхности в трехмерном пространстве. Формулы Гаусса-Бонне.
Векторные расслоения.: Касательное и кокасательное расслоения. Тензорные расслоения. Операции над расслоениями. Сечения. Дифференциальные формы со значением в расслоении.
Связность как ковариантное дифференцирование.: Связность в векторном расслоении. Параллельный перенос. Тензоры кривизны и кручения.
Римановы многообразия.: Риманова связность. Симметрии тензора кривизны. Геодезические. Сопряженные точки.

Литература

М.Э.Казарян, Курс дифференциальной геометрии (2001-2002), МЦНМО 2002.