На главную страницу НМУ

П.Г.Гриневич

Введение в гамильтонову механику

Примерная программа

1. Три подхода в классической механике -- Ньютонов, Лагранжев и Гамильтонов.
2. Лагранжева механика: Принцип наименьшего действия, теорема Нетер - сииметрии порождают законы сохранения. Энергия, импульс, момент импульса.
3. Гамильтонова формулировка. Гамильтониан, скобки Пуассона. Пуассоновы многообразия, гамильтоновы потоки.
4. Симплектические структуры и симплектические многообразия. Понятие лагранжева подмногообразия.
5. Примеры конечномерных гамильтоновых систем. Канонические скобки. Скобки Ли-Костанта-Кириллова. Волчки.
6. Немного об обобщенных функциях.
7. Примеры бесконечномерных гамильтоновых систем. Гамильтонов формализм полевых систем. Гамильтонова формулировка гидродинамики. Скобки Пуассона гидродинамического типа (согласно Дубровину-Новикову). Скобка Гарднера-Захарова-Фаддеева и Ленарда-Магри в теории уравнения Кортевега-де Фриза.
8. Алгебра Ли симметрий гамильтоновой системы и скобки Пуассона законов сохранения. Аннуляторы (операторы Казимира) пуассоновой структуры.
9. Каноническая форма пуассоновой структуры (Теорема Дарбу).
10. Вполне интегрируемые системы. Теорема Лиувилля об интегрируемости в квадратурах. Теорема Лиувилля о топологии многообразия уровня. Переменные действие-угол.
11. Уравнение Гамильтона-Якоби.
12. Примеры вполне интегрируемых систем -- волчки, геодезические на эллипсоиде.

Хотел бы, если успею.

1. Формализм Дирака для систем со связями.
2. Уравнение Кортевега-де Фриза как бигамильтонова система.
3. Интегрирование диагонализируемых гамильтовых систем гидродинамического типаметодом годографа (теорема Царева).