И.А.Богаевский

Критические точки и группы, порожденные отражениями

Цель курса -- рассказать о связи классификации простых критических точек голоморфных функций и списком конечных групп движений евклидова пространства, порожденных отражениями. Имеется в виду классификация ростков функций относительно биголоморфных замен координат. Например, функции x² и -x² -- эквивалентны, а x² и x³ -- нет. Простота означает, что рассматривается лишь дискретная часть классификации (пока нет непрерывных инвариантов). Оказывается, что простые критические точки образуют серии A, D и E, которые также появляются при классификации конечных групп, порожденных отражениями, а также простых алгебр Ли. По всем этим объектам строятся системы корней, которые описываются диаграммами Дынкина. Об этой загадочной связи классификаций объектов различной математической природы и предполагается рассказать в курсе.

Приблизительный план

Группы Кокстера и Вейля движений евклидова пространства. Системы корней. Диаграммы Дынкина. Кольца инвариантов и теорема Шевалле. Дискриминанты.
Дискретная часть классификации критических точек голоморфных функций (ADE-классификация) -- основные идеи доказательства. Появление непрерывных инвариантов у изолированных критических точек и окаймляющие особенности P₈, X₉ и J₁₀. Неизолированные окаймляющие критические точки.
Теорема Милнора о гомотопическом типе неособого слоя ростка голоморфной функции. Исчезающие гомологии и число Милнора изолированной критической точки. Матрица пересечений исчезающих циклов. Исчезающие циклы простых особенностей образуют систему корней.
Операторы Пикара--Лефшеца в гомологиях неособого слоя. Операторы монодромии и вариации. Группы монодромии простых критических точек и группы Вейля серий A, D и E.
Версальные деформации и бифуркационные диаграммы нулей. Совпадение бифуркационных диаграмм простых критических точек с дискриминантами соответствующих групп Вейля серий A, D и E. Отображение периодов. Применение: эквивариантная лемма Морса и перестройки волновых фронтов как сечений дискриминанта. Группы кос и топологическая структура дополнений к бифуркационным диаграммам.
Связь простых критических точек с бинарными группами многогранников и алгебрами Ли. Теорема Клейна о реализации простых критических точек функций соотношениями между инвариантами бинарных группами многогранников. Полупростые алгебры Ли и их системы корней. Конструкция Брискорна особенности гиперповерхности по полупростой алгебре Ли.