А.Ю.Пирковский

Совместный спектр Тэйлора и пучковые модели линейных операторов

Предполагается рассказать несколько сюжетов из современной спектральной теории, лежащих на стыке функционального анализа, гомологической алгебры и многомерного комплексного анализа. Вначале будут изложены элементы "классической" спектральной теории от одного оператора.

Совместный спектр Тэйлора

Спектр линейного оператора $T$ в комплексном векторном пространстве $X$ --- это множество $\sigma(T)\subset\CC$, состоящее из тех $\lambda\in\CC$, для которых оператор $T-\lambda$ необратим. Если $E$ --- банахово пространство, а $T$ ограничен, то у спектра есть следующие важные свойства:

$\sigma(T)$ компактен и непуст.
В любой окрестности $U\supset\sigma(T)$ существует голоморфное исчисление от $T$ (т.е. для каждой голоморфной в $U$ функции $f$ определен оператор $f(T)$, и соответствие $f\mapsto f(T)$ удовлетворяет некоторым естественным требованиям).
При этом $\sigma(f(T))=f(\sigma(T))$ (теорема об отображении спектра).
$\sigma(T)$ --- наименьший компакт с перечисленными свойствами.

Пусть теперь $(T_1,\ldots ,T_n)$ --- набор попарно коммутирующих операторов в $E$. Что следует называть их совместным спектром? Желательно, чтобы совместный спектр лежал в $\CC^n$, обладал перечисленными выше свойствами и при $n=1$ сводился к обычному спектру оператора. Подходящее определение совместного спектра предложил Дж. Тэйлор в 1970 г. Интересно, что это определение выглядит несколько неожиданным (на первый взгляд, "слишком алгебраическим"), а доказательства перечисленных выше свойств широко используют методы гомологической алгебры и многомерного комплексного анализа.

Пучковые модели

Довольно часто оказывается, что спектральное поведение оператора можно "локализовать". Например, из теоремы о жордановой нормальной форме следует, что оператор в конечномерном пространстве можно разложить в прямую сумму операторов с одноточечными спектрами. В более общей ситуации для любого открытого покрытия $\{ U_i\}$ спектра оператора удается построить семейство операторов $\{ T_i\}$ так, что $\sigma(T_i)\subset U_i$, и оператор $T$ в некотором смысле "восстанавливается" по этому семейству. Развитие этих идей привело к пониманию того, что вся спектральная информация об операторе должна содержаться в некотором геометрическом объекте (бесконечномерном векторном расслоении или же пучке), сосредоточенном на спектре оператора; сам же оператор оказывается оператором умножения на "независимую переменную" в пространстве сечений этого расслоения или пучка. Это и есть пучковая модель оператора. Как оказалось, многие классические свойства оператора естественно формулируются в теоретико-пучковых терминах, что дает новые эффективные методы для их исследования. Основы этой науки были заложены в середине 1980-ых гг. Й. Эшмайером и М. Путинаром (для более общего случая нескольких коммутирующих операторов).

Требования к подготовке слушателей:

по-видимому, более или менее достаточно базовых сведений из алгебры (конечномерные линейные пространства и операторы в них, кольца и модули), ТФКП (основные свойства аналитических функций, степенные ряды), теории метрических пространств (полнота, компактность). Также желательно некоторое знакомство с основными понятиями функционального анализа: нормированными пространствами, линейными операторами и т.п. Впрочем, все необходимые сведения будут напоминаться по ходу дела.

Примерная программа курса

1. Спектр и голоморфное исчисление: случай одного оператора

Классическая теория.: Спектр элемента алгебры. Алгебраические свойства спектра. Банаховы алгебры: основные примеры и конструкции. Непустота и компактность спектра элемента банаховой алгебры. Спектры ограниченных операторов и примеры их вычисления. Полинормированные (=локально выпуклые) пространства и алгебры: первоначальные сведения. Голоморфное функциональное исчисление. Теорема об отображении спектра.
Алгебраическая интерпретация классической теории.: Банаховы и полинормированные модули. Линейные операторы как модули над алгеброй многочленов и линейные ограниченные операторы как банаховы модули над алгеброй целых функций. Пространство максимальных идеалов как "место обитания" спектра оператора. Теоретико-кольцевые формулировки теорем об отображении спектра.

2. Совместный спектр Тэйлора и голоморфное исчисление от нескольких коммутирующих операторов

Элементы гомологической алгебры (алгебраический и функционально-аналитический варианты): Комплексы, гомологии, проективные модули, проективные резольвенты, производные функторы. Топологические тензорные произведения и функтор Tor. Резольвента Кошуля для алгебры многочленов и для алгебры целых функций. Интерпретация спектра оператора в терминах функтора Tor.
Голоморфное исчисление на спектре Тэйлора: Совместный спектр Тэйлора и примеры его вычисления. Функциональное исчисление: постановка задачи. Параметризованные банаховы комплексы: открытость ``множества точности''. Применение: эквивалентные определения спектра. Замечания об аналитических пучках. Алгебраический формализм: комплекс, доминирующий над модулем, и соотношения трансверсальности для модулей. Комплекс Чеха и построение голоморфного исчисления на совместном спектре.
Свойства голоморфного исчисления: (Сюжеты, помеченные звездочкой, возможно, будут сокращены или опущены, поскольку для их подробного изложения требуется довольно много времени.) Дальнейшие сведения о топологических тензорных произведениях. Ядерные пространства и их гомологические свойства. Некоторые факты из комплексной аналитической геометрии: аналитические пучки, их когомологии, области голоморфности. Теорема единственности голоморфного исчисления на области голоморфности. Неединственность для произвольных областей. Теорема об отображении спектра.
Замечания о других совместных спектрах:: спектр Харта, спектр относительно коммутативной подалгебры и др.

3. Пучковые модели и элементы локальной спектральной теории

Пучковые модели.: Пучки Фреше; примеры. Пучковая модель оператора. Конечномерный случай. Пучковые модели для "модельных" примеров операторов (диагональные операторы, операторы умножения, операторы сдвига). Пространство Харди. Инвариантные подпространства оператора сдвига.
Операторы, обладающие пучковой моделью.: Свойство однозначности продолжения (SVEP) и свойство (\beta) Бишопа. Примеры и контрпримеры. Разложимые операторы. Каноническая пучковая модель оператора со свойством (\beta).
Свойство (\beta) и квазикогерентность.: Квазикогерентные аналитические пучки Фреше: определение и общие свойства. Квазикогерентные модули Фреше. Эквивалентность свойства (\beta) линейного оператора и квазикогерентности его пучковой модели.
Локальные спектральные свойства.: Локальный спектр и его нахождение для конкретных операторов. Локальный спектр как носитель сечения канонической пучковой модели. Локальные спектральные подпространства и их свойства. Описание локальных спектральных подпространств оператора со свойством (\beta) в пучковых терминах.
Разложимость и мягкость*.: Мягкие пучки. Эквивалентность разложимости оператора и мягкости его пучковой модели.