Почти комплексная структура на двумерной вещественной поверхности определяется следующим образом: на каждой касательной плоскости задаётся структура одномерного комплексного линейного пространства, т.е., "оператор умножения на i".
Всякая структура римановой поверхности задаётся почти комплексной структурой. Оказывается, что справедливо и обратное утверждение: всякая "хорошая" почти комплексная структура на двумерной поверхности интегрируема, т.е., допускает голоморфный атлас.
"Хорошая структура" означает "измеримая с ограниченной дилатацией".
Каждая голоморфная карта задается квазиконформным гомеоморфизмом (грубо говоря, гомеоморфизмом, дифференцируемым почти всюду и имеющим равномерно ограниченную дилатацию во всех точках поверхности. Из теоремы интегрируемости следует
Теорема о квазиконформном отображении. Всякая "хорошая" почти комплексная структура на сфере Римана переводится в стандартную комплексную структуру подходяшим квазиконформным гомеоморфизмом (последний - единственен с точностью до композиции с конформным преобразованием).
Теорема об интегрируемости легко доказывается в случае аналитической почти комплексной структуры (доказательство принадлежит Гауссу). Уже в гладком случае доказательство довольно нетривиально (оно было получено Корном, Лихтенштейном, Ньюлендером, Ниренбергом...).
Общий измеримый случай теоремы о квазиконформном отображении (доказанный С.Морри) имеет многочисленные важные применения в разных областях математики, в первую очередь, в голоморфной динамике (например, при доказательстве теоремы Сулливана об отсутствии блуждающих компонент множества Фату) и теории Клейновых групп. Грубо говоря, наличие нестандартной почти комплексной структуры, инвариантной относительно рационального преобразования (или некоторой группы конформных преобразований) сферы Римана, даёт возможно нетривиально деформировать преобразование (группу) в соответствуюшем классе преобразований (групп) с сохранением динамики действия.
В миникурсе будет рассказано о применениях теоремы о квазиконформном отображении (включая теорему Сулливана, упомянутую выше, и теорему Берса об одновременной униформизации). На последних лекциях будет дано новое доказательство (полученное докладчиком) теоремы о квазиконформном отображении. Из первого шага доказательства будет выведена теорема Пуанкаре-Кёбе о классификации односвязных римановых поверхностей.
1. Почти комплексные структуры и теорема о квазиконформном отображении. Теорема Альфорса--Берса о голоморфности квазиконформного отображения по параметру. Пример применения: число вращения как предел модуля вырождающегося комплексного тора.
2. Введение в голоморфную динамику. Доказательство теоремы Сулливана.
3. Теорема Манье--Сада--Сулливана о структурной устойчивости. Голоморфные движения и теорема Слодковского.
4. Неустойчивость недискретных свободных подгрупп в $PSL_2(\mathbb C)$: короткое доказательство с использованием теоремы Альфорса--Берса.
5. Теорема Берса об одновременной униформизации.
6. Теорема о квазиконформном отображении для гладкой почти комплексной структуры на торе. Её доказательство и вывод теоремы о классификации односвязных римановых поверхностей.
7. Неравенство Грёча. Вывод общей измеримой теоремы о квазиконформном отображении.
1. Ahlfors, L. Lectures on quasiconformal mappings. - Wadsworth (1987).
2. Любич, М.Ю. Динамика рациональных преобразований: топологическая картина. - УМН 41 (1986), No 4 (250), 35--95.
3. Bers, L. Simultaneous uniformization. - Bull. Amer. Math. Soc. 66 (1960), 94--97.
4. Glutsyuk, A. Simple proofs of uniformization theorems. - To appear.
