[Gzipped postscript (741K)|Zipped postscript (741K)]
Более новые версии этого текста см. на http://dfgm.math.msu.su/files/skopenkov/obstruct2.ps.
Будут изучаться простейшие наглядные объекты математики: многообразия и векторные поля на них. Эти объекты важны как для топологии, так и для других разделов математики и приложений. Основное внимание будет уделено демонстрации алгебраических идей теории препятствий на примере изучения проблем существовании и классификации векторных полей и их систем, а также тесно связанной проблемы изучения вложений многообразий. Вслед за великими математиками 20-го века в процессе изучения этих проблем слушатели курса откроют основные понятия и теоремы алгебраической топологии, что поможет последним совершить собственные настолько же полезные открытия.
От участников требуется наличие сообразительности и геометрической интуиции. Курс смогут освоить и сдать даже студенты, не имеющие начальных знаний по топологии, если они будут активного заниматься. В то же время, ввиду "перпендикулярности" данного спецкурса обычным курсам алгебраической топологии, даже для третьекурсников он может оказаться интересным и непростым. Слушателям спецкурса, успешно решающим задачи, будут раздаваться подробные тексты лекций.
Материал данного спецкурса практически не пересекается с материалом спецкурсов, читавшихся А. Скопенковым в НМУ и летней школе "Современная Математика" в 2002--04 гг. (а идейки — их куда прикажете деть?). К концу курса предполагается подготовить к публикации брошюру с одноименным названием.
Пункты 2 и с буквой "a" могут быть пропущены по желанию студентов.
1. Препятствия Ван Кампена к аппроксимации путей вложениями и планарности графов.
1a. Конфигурационные пространства и вложимость в плоскость.
2. Определение, примеры, инварианты и классификация 2-многообразий.
3. Ориентируемость 2-многообразий: гомологии и первый класс Штифеля-Уитни.
4. Определение и примеры 3-многообразий.
4a. Определение и примеры 2-полиэдров. Вложимость 2-полиэдров в R3. Утолщаемость ложных поверхностей.
5. Существование векторных полей на 2-многообразиях. Касательные векторные поля на 3-многообразиях. Эйлерова характеристика как препятствие к существованию ненулевого касательного векторного поля. Теорема Хопфа о существовании ненулевого касательного векторного поля на 3-многообразиях.
6. Существование нормальных векторные полей для 2-многообразий.
7. Существование ортонормированных систем векторных полей.
7a. Двойственность Пуанкаре для 3-многообразий. Простое доказательство теоремы Штифеля о параллелизуемости ориентируемых 3-многообразий.
8. Вложения и погружения многообразий.
9. Гомотопическая классификация отображений (теорема Хопфа).
