А.В.Пенской

Интегрируемые системы

Планируется изложить стандартные основы теории интегрируемых систем, а также дать примеры связи интегрируемых систем с другими областями математики.

Главным примером предполагается сделать иерархию Кадомцева-Петвиашвили ввиду ее связи с многими интересными объектами (алгебра псевдодифференциальных операторов, бесконечномерный грассманиан, многочлены Шура, бозон-фермионное соответствие, вертексные операторы). Ввиду нехватки времени некоторые вопросы, возможно, будут изложены без доказательств (например, мы скорее всего упомянем о проблеме Шоттки и гипотезе Новикова, но на ее доказательство даже в ослабленном варианте времени точно не будет).

В качестве основ теории предполагается изложить следующие темы:

Гамильтоновы системы. Теорема Лиувилля. Переменные действие-угол.
Симплектические и пуассоновы многообразия. Гамильтоновы редукция.
Лаксовы пары. r-матрица. Лаксовы пары со спектральным параметром. Конструкция Захарова-Шабата.
Лаксовы пары и коприсоединенные орбиты. Конструкция Адлера-Костанта-Саймса. Открытая цепочка Тоды.
Алгебро-геометрические методы: спектральные кривые, функции Бейкера-Ахиезера. Симплектическая структура. Замкнутая цепочка Тоды.

Многое будет зависеть от слушателей, поэтому после начала курса его программа будет претерпевать изменения в зависимости от уровня подготовки слушателей и их интересов.