Почти комплексная структура на четномерном вещественном многообразии M2n — это способ умножать касательные вектора на комплексные числа, точнее, задание структуры комплексного линейного пространства Cn на каждом касательном пространстве. Почти комплексная структура называется интегрируемой, если она допускает голоморфный атлас.
В размерности 2 всякая гладкая почти комплексная структура интегрируема. Теория квазиконформных отображений} дает обобщение (теорема C.Morrey) на случай произвольной измеримой ограниченной почти комплексной структуры. Это обобщение имеет многочисленные важные применения во многих областях математики, в первую очередь, в комплексной динамике и геометрии (напр. теории Клейновых групп).
При итерациях рационального отображения R=P/Q сфера Римана разбивается на два инвариантных множества (идея, предложенная Фату и Жюлиа в начале 20 в.): множество Фату (открытое множество, состояшее из орбит, устойчивых по Ляпунову) и множество Жюлиа (его дополнение).
Теорема Сулливана:
В высших размерностях (гладкая) почти комплексная структура,
как правило, не интегрируема. В то же время, через каждую точку
всегда проходит локальная
Теорема Громова. Рассмотрим произвольную почти комплексную структуру на CP2, подчиненную стандартной симплектической структуре Фубини-Штуди. Тогда через каждую пару точек проходит единственная псевдоголоморфно вложенная сфера, гомологичная проективной прямой.
На трехмерной сфере рассмотрим произвольную контактную 1- форму (т.е. максимально неинтегрируемую). В каждой точке рассмотрим ядро дифференциала (ядра являются прямыми и образуют поле направлений, называемое рибовским).
Теорема Хофера. Всякое рибовское поле на трехмерной сфере имеет хотя бы одну замкнутую траекторию.
Доказательство основано на симплектическом продолжении контактной структуры и исследовании псевдоголоморфных кривых. Аналогичное утверждение в общем случае не доказано (это — старая гипотеза Вейнстейна).
основы одномерного комплексного анализа.
1. Введение в динамику рациональных отображений. Множества Фату и Жюлиа. Примеры и простейшие свойства. Открытые задачи.
2. Нормальные семейства функций. Монотонность метрики Пуанкаре и теорема Монтеля о нормальных семействах.
3. Квазиконформные отображения. Теорема C.Morrey о квазиконформном гомеоморфизме. Теорема Альфорса-Берса о голоморфной зависимости от параметра.
4. Примеры применения. Число вращения как предел модуля вырождающегося комплексного тора. Теорема Берса об одновременной униформизации голоморфного семейства римановых поверхностей.
4. Доказательство теоремы Сулливана об отсутствии бегущих компонент множества Фату.
5. Структурная устойчивость гиперболических рациональных отображений на множестве Жюлиа и голоморфные движения.
6. Почти комплексные структуры (в высшей размерности), подчиненные симплектической. Теорема Громова о сушествовании псевдоголоморфных "прямых" в CP2.
7. Лемма Шварца и локальное изопериметрическое неравенство для псевдоголоморфных кривых.
8. Несуществование симплектического вложения шара в цилиндр. Доказательство с использованием псевдоголоморных кривых.
9. Теорема Громова о компактности семейства псевдоголоморфных кривых с ограниченной площадью.
10. Положительность индекса пересечения псевдоголоморфных кривых.
11. Гипотеза Вейнстейна о замкнутых траекториях рибовского поля. Доказательство Хофера для 3-сферы.
1. Ahlfors, L. Lectures on quasiconformal mappings. — Wadsworth (1987).
2. Bers, L. Simultaneous uniformization. — Bull. Amer. Math. Soc. 66 (1960), 94-97.
3. Любич, М.Ю. Динамика рациональных преобразований: топологическая картина. - УМН 41 (1986), No 4 (250), 35--95.
4. Gromov M. Pseudoholomorphic curves in symplectic manifolds. — Invent. Math. 82 (1985), No. 2, 307-347.
5. McDuff, D.; Salamon, D. J-holomorphic curves and symplectic topology. — AMS Colloquium publications, 52.
6. Abbas, C., Cieliebak, K., Hofer H. The Weinstein conjecture for planar contact structures in dimension three (preprint 2004) — http://xxx.lanl.gov/abs/math.SG/0409355.
7. Hofer, H. Pseudoholomorphic curves in symplectization with applications to Weinstein conjecture in dimension three. — Invent. Math. 114, No. 3, 515-563 (1993).
