А.Л.Городенцев (A.Gorodentsev)

Линейная алгебра и геометрия (Linear algebra and geometry)

Домашний экзамен (Take-home exam)

[Gzipped postscript (59K)|Zipped postscript (59K)]

(весна 2006, 1-й курс, 2-й семестр)

Программа курса

Проективные пространства: Словарь "линейная алгебра — проективная геометрия": линейные оболочки точек, проективные преобразования, индуцированные линейными операторами и их неподвижные точки, дополнительные подпространства, прямые разложения и проекции, счёт размерностей. Проективная двойственность. Топология маломерных пространств: RP₁=S¹, RP₂="лист Мёбиуса с заклеенной диском границей", RP₃=SO₃(R) и CP₁=S². Дробно-линейные преобразования прямой, двойное отношение, игры с плоскими кониками и построения одной линейкой.
Комплексные проективные квадрики: Ограничение квадрики на прямую: касательные прямые и касательные пространства. Геометрия квадрики: всякая квадрика является линейным соединением проективного пространства особых точек с неособой квадрикой в дополнительном подпространстве, описание линейных подпространств, лежащих на квадрике. Двойственная квадрика. Полярное преобразование относительно неособой квадрики (неособая квадрика как изоморфизм V→V^*). Пространство квадрик. Маломерные примеры: коника Веронезе P₁→P₂, квадрика Сегре P₁×P₁→P₃, квадрика Плюккера G(2,4)→P₅ и гомоморфизмы PSL₂(C)=PSO₃(C) и PSL₂(C)×PSL₂(C)=PSO₄(C).
Аффинные пространства: Аффинная геометрия как срез проективной, сравнение однородных и локальных аффинных координат, барицентрические координаты и барицентры. Вещественная выпуклая геометрия: стандартные свойства выпуклых фигур, выпуклые многогранники и полиэдральные конусы, экстремумы линейных функций на многогранниках. Двойственность. Кубы, кокубы и симплексы. Вещественные аффинные квадрики.
Скалярные произведения и евклидова геометрия: Симметричные билинейные формы, матрицы Грама, ортогонализация. Евклидова геометрия: вычисление расстояний, углов объёмов и т.п. Ортогональная группа (над любым полем) порождается отражениями. Строение группы SO(Rⁿ), экспоненциальное отображение so→SO.
Линейная симплектическая геометрия: Вещественное пространство с симплектической формой. Строение группы Sp. Экспоненциальное отображение sp→Sp. Лагранжевы подпространства. Гамильтонов формализм.
Комплексные, вещественные и келеровы структуры. Унитарная геометрия: Комплексификация, овеществление, комплексная и вещественная линейность (условия Коши-Римана). Эрмитово скалярное произведение. Вычисление длин и углов. Метрика Фубини-Штуди на CP_n. Примеры унитарных пространств и унитарных операторов. Келеровы тройки (I,g,ω), условия Римана, зигелево полупространство модулей келеровых структур на симплектическом R²ⁿ.
Классические классификационные задачи линейной алгебры: Линейные операторы на пространствах со скалярным произведением: диагонализация нормальных операторов в евклидовом и унитарном пространстве, канонический вид (анти)самосопряжённых операторов, полярное разложение. Полупростые и унипотентные операторы, разложение Жордана. Цикловой тип нильпотентного оператора. Одновременная диагонализация коммутирующих полупростых матриц, линейные представления тора, решётка характеров.
Тензорная алгебра векторного пространства: Тензорное произведение векторных пространств. Разложимые тензоры и многообразия Сегре. Двойственность и свёртки. Линейная оболочка тензора. Симметрическая и грассманова алгебры как факторы тензорной алгебры по двойственным коммутационным соотношениям, многообразия Веронезе, многообразия Грассмана и их явное задание квадратичными уравнениями. Поляризация (косо)коммутативных многочленов (в нулевой характеристике), изоморфизм (Λ^k)^*=Λ^top-k и "нечётное преобразование Фурье".
Алгебры Клиффорда и спинорная геометрия (если позволит время): Клиффордова алгебра квадратичной формы. Группа Spin и накрытие Spin→SO. Комплексные спиноры: спинорные модули над клиффордовой алгеброй и спинорные представления ортогональной группы. Четырёхмерные спиноры и кватернионы. А если время позволит ещё больше, то триальность в P₇ и октавы.
Язык категорий: Категории и функторы. Естественные преобразования. Эквивалентность категорий. Категорные конструкции линейной алгебры, двойственность. Представимые функторы, лемма Ионеды. Пределы. Примеры пределов: p-адические числа, Q/Z, категория Δ и симплициальные пространства как предпучки на категории Δ.
Комплексы, дифференциалы, гомологии (по большей части как упражнения): Диаграмный поиск в категории абелевых групп, стандартные леммы о точных тройках (змеевидный гомоморфизм ker-coker и т.п.). Комплексы, гомологии, длинная последовательность гомологий, эйлерова характеристика, аддитивные функции. Комплексы как Λ-модули: кошулево правило знаков, тензорные произведения комплексов, Hom-комплексы и гомотопии. Комплексы Кошуля-Де Рама.