Постоянный научно-исследовательский семнар "Гомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений", работающий в НМУ уже несколько лет, посвящён алгебраическим и геометрическим аспектам современной теории дифференциальных уравнений. Особое внимание уделяется когомологическим конструкциям, отвечающим за важнейшие инварианты ДУ. В ближайшем семестре предполагается сосредоточиться на вопросах, связанных с пуассоновыми структурами на бесконечно продолженных уравнениях.
На семинаре обсуждаются новейшиие публикации по его тематике и результаты, полученные участниками.
Заседания по понедельникам в 19:10.
Чтобы включить свой адрес в список рассылки семинара, обращайтесь к Александру Вербовецкому <verbovet СОБАКА mccme.ru>.
Приглашаются все желающие.
И самое последнее:
In the category of PDEs there is a notion of coverings, which generalize Backlund transformations and Lax pairs from soliton theory. As is well known, in topology the fundamental group is responsible for coverings. In this talk we continue to describe an analog of fundamental group for coverings in the category of PDEs. This analog is not a group, but a system of (often infinite-dimensional) Lie algebras.
Последнее занятие в семестре:
15 мая, ауд. 308
We consider hydrodynamic reductions of the dispersionless limit of dKP equation (as example) for construction of new solutions for WDVV equation.
10 мая (среда), ауд. 307
Several approaches allowing classification of hydrodynamic chains are presented. Infinitely many particular solutions are found.
Keywords: Riemann surface, hodograph method, hydrodynamic reduction.
1 мая семинара не будет.
24 апреля
1) Обобщение скобки Якоби для теней симметрий.
2) Построение скобки Схоутена для нелокальных С-дифференциальных операторов.
17 апреля
3 и 10 апреля семинара не будет.
27 марта
Применение топосов в геометрии:
1) Когомологии топосов (обобщающие когомологии топологических пространств и групп).
2) Построение топоса, хорошие объекты которого заслуживают права именоваться многообразиями; т.е. построение удобной для работы категории многообразий.
20 марта
Интеграл для обобщённого инварианта Сато-Левина, построенный в первой части доклада, будет обобщён в следующих конструкциях.
1. Построение высших аналогов интеграла токовой (гидродинамической или магнитной) спиральности.
2. Построение высшего аналога интегала перекрёстной спиральности.
3. Построение бесконечной серии высших аналогов интегралов (гидродинамической или магнитной) спиральности. Обсудим топологический смысл построенных интегралов.
13 марта
The symmetry group is one of the most important notions in the group analysis of differential equations. We generalize this notion, introducing a certain category, whose objects are systems of PDE and their automorphism groups are the corresponding symmetry groups: our contribution is a proposed notion of a morphism between the systems. We are mostly interested in a subcategory that arises from second order parabolic equations on arbitrary manifolds; an example that deals with nonlinear reaction-diffusion equation is discussed in detail.
6 марта
В категории дифференциальных уравнений в частных производных есть понятие накрытия, которое обобщает преобразования Бэклунда и пары Лакса из теории солитонов. Как известно, в топологии за накрытия отвечает фундаментальная группа. В докладе будет описан аналог фундаментальной группы для накрытий в категории дифференциальных уравнений. Этот аналог представляет собой не группу, а некоторую систему алгебр Ли, часто бесконечномерных.
27 февраля
В идеальной проводящей жидкой среде магнитное поле удовлетворяет закону сохранения спиральности. В среде с ненулевым коэффициентом магнитной диффузии скорость изменения магнитной спиральности определяется интегралом токовой спиральности. Указанную закономерность легко объяснить из топологических соображений. Токовая спиральность вычисляется в экспериментах.
В докладе обсуждаются высшие аналоги (связанные с высшими алгебраическими инвариантами узлов и зацеплений) интегралов магнитной и токовой спиральности.
20 февраля
13 февраля
6 февраля
Рассматриваются уравнения в частных производных с граничными условиями. Такое уравнение называется плоским, если его решения находятся во взаимно однозначном соответствии с набором произвольных функций. Ставится задача плоскостности: проверить является ли заданное уравнение с граничными условиями плоским или нет.
В докладе будут рассмотрены примеры таких уравнений из теории управления. Будет показано, как такие уравнения преобразуются в уравнения с запаздыванием. Будут сформулированы некоторые задачи теории управления и показано, как они решаются для рассматриваемых уравнений.
