На главную страницу НМУ

А.Ю.Пирковский

Топологические векторные пространства, топологические алгебры и их применения в геометрии

Рекомендовано для 4-5 курса

Предполагается рассказать об основных понятиях теории топологических векторных пространств (в первую очередь — пространств Фреше), уделяя при этом особое внимание топологическим тензорным произведениям и ядерным пространствам. Далее будут изложены основы гомологической теории в категориях модулей Фреше над алгебрами Фреше. Наконец, будет рассказано о нескольких приложениях теории топологических векторных пространств и алгебр в комплексной геометрии, в том числе, об одном доказательстве теоремы Грауэрта о прямом образе.

Требования к подготовке слушателей

Для понимания курса достаточно знаний в объеме первого семестра стандартного университетского курса по функциональному анализу (нормированные и банаховы пространства, ограниченные линейные операторы, теорема Хана-Банаха, сопряженное пространство, сопряженный оператор). Полезно (но не обязательно, если слушатель готов принять часть материала на веру) некоторое знакомство с комплексными пространствами и аналитическими пучками.

Примерная программа курса

1. Топологические векторные пространства и алгебры
   1. Топологические векторные пространства. Полунормы. Локально выпуклые пространства. Непрерывные линейные отображения. Примеры: пространства гладких и голоморфных функций, пространство Шварца, пространства Кёте.
   2. Метризуемые и полные локально выпуклые пространства. Пополнение. Пространства Фреше и их достоинства. Теорема об открытом отображении.
   3. Конструкции: факторпространства, произведения и копроизведения, обратные и прямые пределы. Пример: пространства непрерывных и гладких функций с компактным носителем.
   4. Двойственность. Слабая топология, топология Макки, сильная топология, их свойства. Примеры: пространства распределений (обобщенных функций). Рефлексивные пространства.
   5. Билинейные отображения. Проективное и инъективное тензорные произведения.

      Проективное тензорное произведение на пространства типа $L^1$. Функториальные свойства проективного и инъективного тензорных произведений.

   6. Компактные и ядерные отображения.

      Ядерные пространства. Примеры.

      Тензорные произведения на пространства голоморфных функций. Функториальные свойства тензорного произведения на ядерное пространство.

   7. Топологические алгебры. Примеры: алгебры непрерывных, гладких, голоморфных функций, распределений.

      Топологические модули.

2. Гомологическая алгебра в категориях модулей Фреше
   ("топологическая гомология")
   1. Стандартная гомологическая техника: комплексы, гомологии, точность, длинная точная последовательность гомологий, гомотопии, расщепимость.
   2. Допустимые морфизмы модулей Фреше. Проективные и свободные модули Фреше. Проективные резольвенты, теорема сравнения. Примеры: бар-резольвента, резольвента Кошуля для алгебр голоморфных функций.
   3. Производные функторы. Функторы Ext и Tor.
3. Геометрические приложения
   1. Обзор теории когомологий пучков.
   2. Обзор комплексной геометрии: комплексные многообразия, комплексные пространства, когерентные аналитические пучки, пространства Штейна.
   3. Каноническая топология на алгебрах голоморфных функций и на модулях сечений когерентных аналитических пучков. Свойства канонической топологии. Тензорные произведения.
   4. Теорема Картана-Серра о конечномерности когомологий когерентных пучков на компактном многообразии.
   5. Теорема Грауэрта о прямом образе.