Учебно-исследовательский семинар НМУ под руководством М.Э.Казаряна С.К.Ландо начинает свою работу по четвергам в новом семестре.
10 мая четверг, 17:30, ауд 307
Рассматривается задача вычисления количества комплексных кривых на плоскости, имеющих заданную степень, заданное количество двойных точек, и проходящих через заданный набор точек плоскости, а также аналогичную задачу для линейных систем кривых на произвольной комплексной поверхности. Клейман и Пино провели явное вычисление этих чисел методами алгебраической геометрии и теории пересечений в случае, когда количество двойных точек не превышеат 8. Основываясь на теории универсальных многочленов мультиособенностей, мы приводим в метод, позволяющий продолжить вычисления Клеймана и Пино до по меньшей мере 20 особых точек. Наш метод является элементарным и не использует изучения геометрии рассматриваемого многообразия особенностей. В качестве исходных данных вычислений используется лишь комбинаторная информация такая, как показатели квазиоднородностей особенностей кривых невысоких коразмерностей. К настоящему времени метод не является полностью обоснованным и предсказания, сделанные с его помощью, лишь гипотетические. Однако имеется большое количесвто свидетельств в справедливости гипотезы.
3 мая 2007, четверг, 17:30
Прямой способ, использованный в вычислениях, состоит в полном перечислении всех возможных симметричных конфигураций дивизора гиперэллиптического ветвления и исследования симметрий вырожденных конфигураций. Приведенные ответы согласуются с теми, что были получены ранее другими авторами для малых n.
19 апреля, четверг, 17:30, ауд 307
Попытаемся разобраться с действием Гивенталя. Конечная цель - получить виттеновское решение rKdV как результат преобразования Гивенталя, хотя бы для r=3 и хотя бы несколько первых членов. Докладчик - С. Шадрин (шутка)
12 апреля, четверг, 17:30, ауд 307
Продолжаем разбирать недавнюю статью Faber, Shadrin, Zvonkine, содержащую доказательство большой гипотезы Виттена.
5 апреля, четверг, 17:30, ауд 307
Продолжаем разбирать недавнюю статью Faber, Shadrin, Zvonkine, содержащую доказательство большой гипотезы Виттена.
29 марта четверг, 17:30, ауд 307
Начинаем разбирать недавнюю статью Faber, Shadrin, Zvonkine, содержащую доказательство большой гипотезы Виттена.
22 марта четверг, 17:30, ауд 307
Свободная дискуссия по текущим вопросам (без фиксированной темы).
8 марта 2007 семинар не состоится. Всех с праздиком!
четверг 1 марта 2007 г., 17.30
В докладе будет обсуждаться следующая версия зеркальной симметрии. Рассмотрим многообразие Фано X. По его численным алгебро-геометрическим инвариантам (а точнее, по двухточечным инвариантам Громова-Виттена) можно построить так называемый квантовый D-модуль, задающийся квантовым дифференциальным оператором. С помощью нехитрой операции (регуляризации) по этому оператору строится так называемый оператор типа DN. Согласно предсказаниям зеркальной симметрии, существует пучок многообразий Y (двойственный к X), оператор Пикара-Фукса которого совпадает с оператором типа DN для X.
Оказывается, решения квантового дифференциального оператора и уравнения типа DN строятся по I-ряду, то есть по производящему ряду одноточечных инвариантов Громова-Виттена с потомками. Мы обсудим эти решения. Также мы кратко рассмотрим несколько примеров того, как можно строить двойственные пучки многообразий.
четверг 22 февраля 2007 г., 17.30
Талалаевым (2004) была предложена удивительная формула для "квантового характеристического многочлена", для некоторых специальных матриц с коэффициоентами из некоммутативных алгебр таких как универсальная обертывающая для алгебры Ли gl_n или gl_n[t], Янгианов и др. Формула имеет такой вид: det(d/dz-L(z))=\sum_{i,p} H_{i,p} z^i (d/dz)^p. Наиболее необычным является, то что "квантовый характеристический многочлен" становится дифференциальным оператором по вспомогательной переменной z. Теорема Талалаева (2004) утверждает, что H_{i,p} - образуют КОММУТАТИВНУЮ подалгебру в соотвествующей НЕкоммутативной алгебре. (т.е. задают квантовую интегрируемую систему). На данный момент это доказано для некоторого класса интегрируемых систем, однако верится, что при соответствующей модификации аналогичная формула и теорема (а также и все остальные утверждения) будут работать практически для всех интегрируемых систем.
Анзац Бете - это метод нахождения собственных чисел (и общих векторов) для образов (в каком-либо представлении) элементов H_{i,p}. Оказывается, что он может быть переформулирован следующим образом (Талалаев-Червов 2004, на основе Бакстера-Склянина-Фейгина-.....): Набор чисел l_{i,p} является набором собственных чисел, для H_{i,p}, тогда и только тогда когда дифференциальный оператор \sum_{i,p} l_{i,p} z^i (d/dz)^p не имеет монодромии ( имеет только рациональные решения). В почти полном объеме для алгебры gl_n[t] это было доказано в работе Варченко и др. в статье про гипотезу Шапиро, (в нашей работе дано док-во в одну сторону этого утверждения).
четверг 8 февраля 2007 г., 17.30
Мы приведем еще одно новое (которое уж по счету) доказательство гипотезы Виттена. Как и в совместном доказательстве Казаряна-Ландо, оно использует замену переменных в формуле ELSV, однако замена переменных используется другая, заимствованная из статьи Вакиля-Гульдена-Джексона о lambda_g гипотезе.
Новое доказательство лучше проясняет связь между теорией пересечений на пространстве модулей и интегрируемыми иерархиями. Оказывается, что подходящим образом скомпонованная производящая функция для ходжевых интегралов удовлетворяет КП иерархии, и КдФ иерархия для виттеновского потенциала получается отсюда просто как частный случай. При таком подходе проясняются (и становятся почти очевидными) также такие утверждения, как уравнения Вирасоро, а также утверждение упомянутой выше lambda_g гипотезы.
Четверг 1 февраля 2007 г., 17.30
Various branches of matrix model partition function can be represented as intertwined products of universal elementary constituents: Gaussian partition functions Z_G and Kontsevich tau-functions Z_K. Such decomposition formulas are related to representation theory of algebras of Krichever-Novikov type on families of spectral curves with additional Seiberg-Witten structure. Representations of these algebras are encoded in terms of "the global partition functions". They interpolate between Z_G and Z_K associated with different singularities on spectral Riemann surfaces. This construction is nothing but M-theory-like unification of various matrix models with explicit and representative realization of dualities.
Четверг 25 января 2007 г., 17.30
Del Pezzo surfaces are smmoth projective surfaces with very ample anticanonical sheaf. In 60-s Yu. Manin has shown that the Picard groups of del Pezzo surfaces are rank 1 extensions of root lattices of type A_4, D_5, E_6, E_7 and E_8. Later V. Batyrev conjectured that del Pezzo surefaces are subvarieties of GIT quotients of certain symmetric spaces by the action of a maximal torus. We have an alternative proof of this conjecture, one without explicit calculations, by using geometry of symmetric spaces and representation theory.
Чтобы включить/исключить свой адрес из списка рассылки обращайтесь к Максиму Казаряну <kazarian СОБАКА mccme.ru>
