Свободные модули. Проективные модули: определение и свойства. Проективность модулей сечений векторных расслоений над компактными многообразиями. Реализуемость проективных модулей над кольцом гладких функций как модулей сечений векторных расслоений над соответствующим многообразием.
Дифференциальные операторы в категории модулей над коммутативной алгеброй с единицей. Эквивалентность алгебраического и аналитического определений. "Правая" и "левая" представимость функтора дифференциальных операторов, алгебраические джеты модуля. Дифференцирования со значениями в модуле. Представимость функтора дифференцирований, алгебраические 1-формы. Комплекс де Рама коммутативной алгебры с единицей. Геометрические модули. Представимость функторов дифференциальных операторов и дифференцирований в категории геометрических модулей совпадение представляющих объектов с геометрическими джетами и формами соответственно.
Множества бесконечных джетов, естественные проекции. Топология и гладкая структура в на бесконечных джетах. Алгебра гладких функций на многообразии бесконечных джетов, фильтрации. Регулярные модули. Векторные поля, формы, распределения на многообразии бесконечных джетов. Дифференциальное исчисление в категории регулярных модулей.
Распределение Картана, максимальные интегральные многообразия. Связность Картана. Форма связности Картана и дифференциал Картана, связь с формами Картана. Поднятие линейных дифференциальных операторов на многообразии бесконечных джетов, дифференциальные операторы в полных производных.
Поднятие дифференциала де Рама и горизонтальный комплекс де Рама. Связь с дифференциалом Картана. Поднятие векторных полей и полные производные. Интерпретация связности Картана.
Алгебра Ли симметрий распределения Картана на многообразии бесконечных джетов. Идеал тривиальных симметрий. Описание элементов факторалгебры Ли нетривиальных симметрий через эволюционные дифференцирования. Линеаризации нелинейных дифференциальных операторов. Высшие скобки Якоби.
Бесконечно продолженные уравнения. Формально интегрируемые уравнения. Распределение и связность Картана в расслоении бесконечных джетов. Алгебра Ли "высших" симметрий. Описание в терминах универсальной линеаризации. Координатные вычисления и примеры.
Примеры задач, приводящих к уравнениям в джетах подмногообразий. Модификация основных геометрических конструкций применительно к джетам подмногообразий.
Объекты, морфизмы, размерность. Накрытия. Примеры. Преобразования Беклунда. Основные конструкции. Связь с горизонтальными когомологиями де Рама.
Определение. Примеры. Нелокальные симметрии и их тени. Восстановление симметрии по тени. Универсальное накрытие и теорема о восстановлении. Операторы рекурсии.
Расширения уравнений с помощью дифференциальных операторов в полных производных и их свойства. Накрытия, ассоциированные с линеаризацией уравнения и сопряжённым оператором, и их применение для вычисления инвариантов нелинейных уравнений. Касательное и кокасательное расслоения в категории дифференциальных уравнений.
