Многочисленные неудачные попытки решения ряда алгебраических и дифференциальных уравнений "в явном виде" привели математиков к убеждению, что явных решений для этих уравнений просто не существует. В курсе будет рассказано о результатах Абеля, Галуа, Лиувилля, Пикара, Вессио, Колчина, посвященных этому предмету. Особенно подробно будет обсуждаться недавно созданный топологический вариант теории Галуа.
Никаких специальных знаний от слушателей не требуется: предполагается владение одномерным комплексным анализом в объеме университетского курса (включая некоторое представление о римановых поверхностях аналитических функций).
1. Постановка задачи о разрешимости уравнений в конечном виде.
2. Теория Лиувилля. Неэлементарность абелевых интегралов. Критерий Лиувилля--Мордухай-Болтовского разрешимости в квадратурах линейных дифференциальных уравнений второго порядка.
3. Разрешимость алгебраических уравнений в радикалах и теория Галуа. Решения уравнений второй, третьей и четвертой степеней. Основная теорема теории Галуа. Разрешимость в радикалах, понижение степени уравнения с помощью радикалов.
4. Разрешимость линейных дифференциальных уравнений в квадратурах и теория Пикара--Вессио. Аналогия между линейными дифференциальными уравнениями и алгебраическими уравнениями. Основная теорема теории Пикара--Вессио (без доказательства). Алгебраические матричные группы и разрешимость линейных дифференциальных уравнений в квадратурах.
5. Одномерный топологический вариант теории Галуа. Топологическая непредставимость функций в радикалах. Функции с не более чем счетным множеством особых точек, их группы монодромии. Необходимые условия представимости функций в квадратурах, $к$-квадратурах и обобщенных квадратурах.
6. Разрешимость в квадратурах линейных дифференциальных уравнений типа Фукса и топологический вариант теории Галуа. Теория Пикара--Вессио для уравнений типа Фукса. Критерий разрешимости в квадратурах систем линейных дифференциальных уравнений типа Фукса с малыми коэффициентами. Отображение полуплоскости на многоугольник, ограниченный дугами окружностей.
7. Литература:
А.Г. Хованский. О разрешимости и неразрешимости уравнений в явном виде // УМН, Т.~59, вып.~4(358), 2004, 69--146.
