А.Л.Городенцев

Алгебра, 4 семестр

(Введение в коммутативную и гомологическую алгебру)

Расширения коммутативных колец: Целые элементы образуют кольцо, целые расширения транзитивны, если в целом расширении одно из колец является полем, то и другое является полем (если не имеет делителей нуля). Лемма Гаусса: если в B[x] выполнено равенство fg=h и старшие коэффициенты f,g равны единице, то все коэффициенты h целы над A\subset B тогда и только тогда, когда целы все коэффициенты и у f и у g.
Конечно порождённые коммутативные алгебры: Нётеровы кольца, теорема Гильберта о базисе полиномиального идеала, нётеровость конечно порождённых алгебр над полем. Конечно порождённая алгебра над произвольным полем k может быть полем только тогда, когда все её элементы алгебраичны над k. Теорема Гильберта о нулях. Существование базиса трансцендентности и трансцендентная размерность конечно порождённой алгебры над полем. Теория исключения и системы результантов.
Язык категорий и функторов: Малые "k-линейные" категории = ассоциативные алгебры (без единицы, но с локально конечным "разложением единицы"). Примеры категорий, функторов и предпучков. Геометрическая реализация частично упорядоченных множеств и (малых) категорий. Морфизмы функторов, эквивалентности категорий, примеры дуализирующих объектов и двойственностей. Представимые предпучки, лемма Ионеды, задание объектов "универсальными свойствами". Сопряжённые функторы, примеры. Пределы; всякий предпучок является пределом представимых.
Аффинная алгебраическая геометрия: Эквивалентность категории конечно порождённых коммутативных алгебр с единицей над алгебраически замкнутым полем и категории аффинных алгебраических многообразий: максимальные спектры и гомомрфизмы вычисления, обратный образ регулярных функций, топология Зарисского, непрерывность регулярных морфизмов. Геометрические свойства гомоморфизмов алгебр: замкнутые вложения, доминантные морфизмы, замкнутость конечных морфизмов и открытость конечных морфизмов в нормальное многообразие. Расслоенные произведения в категории многообразий и тензорные произведения алгебр. Касательное пространство и касательный конус к алгебраическому многообразию в точке.
Комплексы и когомологии: Фильтрации и градуировки, тензорные произведения и гомоморфизмы градуированных модулей, кошулево правило знаков. Комплексы (k[e]/(e²)-модули), их тензорные произведения и морфизмы, гомотопии и гомологии. Связывающий гомоморфизм и стандартные точные последовательности (лемма о змее и т.п).
Примеры комплексов: симплициальный комплекс симплициального множества, комплексы Кошуля, бар-конструкция. Фильтрованные комплексы, бикомплексы, точные пары и спектральные последовательности.

Далее, в зависимости от оставшегося времени, настроения и подготовленности публики можно развиваться по таким направлениям (они не являются независимыми, и придётся выбирать связный сюжет, скорее всего, надёрганный из обоих направлений):

Гомологические свойства модулей: Задание модулей образующими и соотношениями, свободные резольвенты. Инъективные и проективные модули, существование и единственность (с точностью до гомотопии) соответствующих резольвент. Функторы Tor и Ext, их стандартные свойства и вычисление при помощи (неканонических) ацикличных резольвент. Пример: квадратичные алгебры и квадратичная двойственность (скажем, конкретно S-Λ двойственность). Минимальная резольвента однородного полиномиального идеала, теорема Гильберта о сизигиях. Сравнение размерностей (в точке) многообразия, касательного пространства и локального кольца, гладкость и коэн-маколеевость. Ряды Гильберта-Пуанкаре.
Геометрия алгебраических многообразий: Алгебраические многообразия, структурные пучки и регулярные морфизмы. Отделимость, собственность, графики морфизмов; собственность проективных многообразий. Раздутия и проекции; проекция проективного многообразия из не лежащей на нём точки на произвольную гиперплоскость является конечным морфизмом; существование конечных эпиморфных проекций на гиперплоскость. Размерность; теоремы о конструктивности образа и о размерностях слоёв регулярных морфизмов.