На главную страницу НМУ

А.Ю.Пирковский

Банаховы алгебры

(Рекомендовано для 4 курса)

Предполагается рассказать об основных понятиях теории банаховых алгебр и о ее взаимосвязях с некоторыми смежными дисциплинами --- теорией операторов, гармоническим анализом на группах, теорией представлений, квантовыми группами. Некоторые темы (предположительно --- об алгебрах фон Нойманна и о групповых алгебрах) будут изложены в виде краткого обзора. Впрочем, степень подробности изложения будет определяться в соответствии с пожеланиями слушателей.

Требования к подготовке слушателей

Для понимания курса достаточно знаний в объеме стандартных университетских курсов функционального анализа и алгебры.

Примерная программа курса

I. Основные факты о банаховых алгебрах

1. Банаховы алгебры. Основные примеры и конструкции банаховых алгебр. Аппроксимативные единицы. Гомоморфизмы, характеры, представления, банаховы модули. Максимальные и модулярные идеалы. Радикал Джекобсона, полупростота.
2. Спектр элемента. Алгебраические свойства спектра. Свойства группы обратимых элементов банаховой алгебры. Компактность и непустота спектра. Теорема Гельфанда-Мазура. Спектральный радиус.

II. Коммутативные банаховы алгебры

1. Пространство максимальных идеалов (гельфандов спектр) коммутативной банаховой алгебры. Базовые сведения о локально выпуклых топологиях. Топология на спектре.
2. Преобразование Гельфанда. Категорная интерпретация преобразования Гельфанда.
3. Граница Шилова и точки пика.

III. C^*-алгебры

1. Алгебры с инволюцией. $C^*$-алгебры. Основные примеры. Инволютивные гомоморфизмы. Алгебра мультипликаторов. Спектральные свойства $C^*$-алгебр. Полупростота.
2. Коммутативные $C^*$-алгебры: первая теорема Гельфанда-Наймарка и ее категорная интерпретация. Замечания о некоммутативной геометрии.
3. Непрерывное функциональное исчисление в $C^*$-алгебрах.
4. Положительные элементы. Существование аппроксимативной единицы. Факторалгебры $C^*$-алгебр. Свойства инволютивных гомоморфизмов.
5. Положительные функционалы. Существование и продолжение положительных функционалов. ГНС-конструкция. Вторая теорема Гельфанда-Наймарка.
6. Пространственное тензорное произведение $C^*$-алгебр и его свойства. Замечания о других тензорных произведениях.

IV. Алгебры фон Нойманна (обзор)

1. Топологии на B(H). Теорема о бикоммутанте. Алгебры фон Нойманна. Основные примеры и основные свойства алгебр фон Нойманна.
2. Операторы Гильберта-Шмидта и ядерные операторы. Следовая двойственность. Предсопряженное пространство к алгебре фон Нойманна. Теорема Сакаи.
3. Решетка проекторов в алгебре фон Нойманна. Факторы и их типы; функция размерности.

V. Локально компактные группы и групповые алгебры (обзор)

1. Напоминания из теории меры и интеграла.
2. Топологические группы. Локально компактные группы. Мера Хаара.
3. Групповые алгебры M(G), L^1(G) и C^*(G). Связь представлений группы G с представлениями ее групповых алгебр. Теорема Гельфанда-Райкова.
4. Локально компактные абелевы группы. Группа характеров. Двойственность Понтрягина. Преобразование Фурье.
5. Компактные группы. Алгебра L^2(G). Соотношения ортогональности. Теорема Петера-Вейля. Строение алгебр L^2(G) и C^*(G) для компактной группы G.

VI. Компактные квантовые группы

1. Мотивировки из некоммутативной геометрии. Алгебра функций на группе. Алгебры Хопфа. Групповые действия на двойственном языке. Комодульные алгебры. Пример: квантовая SL(2) и ее кодействие на квантовой плоскости. Алгебры Хопфа с инволюцией. Многочлены на SL(2) и непрерывные функции на SU(2). Квантовая SU(2) как пополнение квантовой SL(2).
2. Общее определение компактной квантовой группы. Описание коммутативных компактных квантовых групп.
3. Мера Хаара на компактной квантовой группе.
4. Унитарные (ко)представления компактных квантовых групп. Полная приводимость. Правое регулярное представление.
5. Плотная подалгебра Хопфа, порожденная матричными элементами конечномерных представлений. Назад к квантовой SL(2).
6. Матричный подход к компактным квантовым группам. Другие примеры компактных квантовых групп.