На главную страницу НМУ

И.Д.Шкредов

Теорема Грина-Тао об арифметических прогрессиях в простых числах

(Рекомендовано для 3-5 курсов)

Гипотеза о том, что в множестве простых чисел найдется арифметическая прогрессия любой длины имеет более чем двухвековую историю. Первые упоминания о прогрессиях в простых числах можно найти в переписке Лагранжа и Варинга, которая датируется 1770 годом. Между тем первые достижения в этой области были достигнуты лишь в 1938 году, когда Н.Г.Чудаков, используя метод тригонометрических сумм И.М.Виноградова, доказал, что множество простых чисел содержит бесконечно много арифметических прогрессий длины три. Что касается прогрессий длины больше, чем три, то до последнего времени этот вопрос оставался открытым.

В 2004 году Б.Грин и Т.Тао получили замечательный результат о существовании в множестве простых числе арифметических прогрессий произвольной длины. В своем доказательстве они использовали невероятный сплав идей из теории чисел, эргодической теории, гармонического анализа и комбинаторики. В настоящем спецкурсе мы постараемся изложить доказательство теоремы Грина и Тао максимально подробным образом.

Приглашаются все желающие!

1. Введение. Теорема Семереди и задачи об арифметических прогрессиях.
2. Дискретное преобразование Фурье. Теорема Рота. Равномерный и неравномерный случаи.
3. Общая схема доказательства результата Грина-Тао. Лемма Варнавидеса.
4. Нормы Гауэрса.
5. Псевдослучайные меры : условие линейных форм и корреляционное условие.
6. Обобщенная теорема фон Неймана.
7. Двойственные нормы, дуальные функции, множества Бора.
8. Теорема о поведении псевдослучайной меры, относительно сигма-алгебры, порожденной дуальными функциями.
9. Башни Фюрстенберга и доказательство обобщения теоремы Семереди для псевдослучайных мер.
10. Модифицированная функция Мангольдта. Мажорирующая мера для простых чисел.
11. Результаты Гольдстона-Ялдирима.
12. Проверка условия линейных форм и корреляционного условия для мажорирующей меры.
13. Доказательство первой теоремы Гольдстона-Ялдирима.
14. Доказательство второй теоремы Гольдстона-Ялдирима.