[Gzipped postscript (20K)|Zipped postscript (20K)]
За последние 30 лет взаимовлияние геометрии и физики было главным источником новых идей в математике; алгебраическая геометрия практически превратилась в раздел физики высоких энергий.
Основным языком этого синтеза стал язык кэлеровой геометрии. Кэлерова геометрия —; это наука, которая излагается в учебнике Гриффитса-Харриса "Основы алгебраической геометрии".
Гриффитс и Харрис писали свою книгу в начале 1980-х; с тех пор многие вещи (даже элементарные) стали гораздо понятнее, и изложить содержание их учебника можно гораздо проще.
Под влиянием струнной физики, центральное значение в математике приняли многообразия со специальной голономией (гиперкэлеровы, Калаби-Яу и другие), про которые Гриффитс-Харрис не рассказывают. Специальная геометрия изучается методами алгебраической геометрии, и принадлежит тому же кругу идей, что содержание "Основ алгебраической геометрии".
На курсе будут определены основные понятия кэлеровой геометрии, без которых ориентироваться в литературе невозможно; и изложены элементы теории специальных многообразий.
0. Почти комплексные многообразия. Связность Леви-Чивита. Теорема Ньюлендера-Ниенхойса.
1. Кэлеровы многообразия. Голономия. Теорема Берже о классификации римановых многообразий посредством группы голономий (без доказательства).
2. Теория Ходжа на римановых многообразиях (наборосок доказательства).
3. Разложение Ходжа на кэлеровых многообразиях, соотношения Кодаиры, теорема Лефшеца.
4. Теорема Кодаиры-Накано о занулении когомологий, теорема Кодаиры о вложении.
5. Теорема Калаби-Яу и ее применения. Набросок доказательства.
6. Структурная теорема для многообразий с $c_1=0$ (Богомолов, Бовилль).
7. (Если останется время) Основы теории деформаций Кодаиры. Теорема Богомолова-Тиана-Тодорова о пространстве деформации многообразий Калаби-Яу.
От студентов предполагается интимное знакомство с понятием гладкого многообразия. Также полезно иметь представление о сущности когомологий де Рама, основ алгебраической геометрии, и готовность быстро изучить эрмитовы расслоения и связности.
1. Гриффитс-Харрис "Основы алгебраической геометрии", нулевая и первая глава.
2. А.С.Мищенко "Векторные расслоения и их применения".
3. А.Бессе "Многообразия Эйнштейна".
4. Д.Мамфорд "Алгебраическая геометрия. Комплексные проективные многообразия".
