И.В.Полтерович

Элементы спектральной геометрии

Миникурс (6 лекций)

Спектральная геометрия — сравнительно молодая и быстро развивающаяся математическая дисциплина, сочетающая в себе элементы дифференциальной геометрии, функционального анализа и теории уравнений с частными производными. Многие задачи спектральной геометрии мотивированы вопросами, возникающими в акустике, квантовой механике и других областях физики. Цель курса состоит в том, чтобы ознакомить слушателей с фундаментальными понятиями и результатами спектральной геометрии, а также дать представление об открытых проблемах в этой увлекательной области математики.

Курс рассчитан на студентов 3-5 курсов и аспирантов.

Программа курса

1. Одномерная спектральная теория: задача Штурма-Лиувилля.
2. Оператор Лапласа-Бельтрами на римановом многообразии. Задачи Дирихле и Неймана. Вариационные принципы для собственных значений.
3. Задача Гаусса о подсчете целых точек в круге. Асимптотика собственных значений оператора Лапласа, закон Вейля. Спектральные инварианты. Можно ли услышать форму барабана?
4. Оптимизация собственных значений при геометрических ограничениях. Экстремальные метрики.
5. Эксперимент Хладного. Нули собственных функций. Теоремы Куранта и Плейеля о нодальных областях. Геометрия нодальных линий.
6. Некоторые недавние достижения и открытые проблемы в спектральной геометрии.