На главную страницу НМУ

М.В.Павлов.

Интегрируемые системы гидродинамического типа и методы классической дифференциальной геометрии

Программа по курсу:

1. Локальные гамильтоновые структуры и локальные дифференциально-геометрические скобки Пуассона первого порядка (скобки Дубровина-Новикова). Плоские метрики. Плоские координаты. Тензор кривизны Римана. Лиувиллевы координаты.

2. Понятие полугамильтоновости (интегрируемость). Инварианты Римана. Диагональная плоская метрика. Аффиноры. Тензор Ниенхейса. Тензор Хаантиеса. Тензор полугамильтоновости.

3. Обобщенный метод годографа. Представление в инвариантах Римана, в произвольных координатах, в плотностях законов сохранения. Законы сохранения и коммутирующие потоки.

4. Нелокальные гамильтоновы структуры. Поверхности с плоской нормальной связностью. Уравнения Гаусса и Майнарди-Петерсона-Кодацци. Нелокальные дифференциально-геометрические скобки Пуассона первого порядка (скобки Ферапонтова). Тензор кривизны Римана. Разложение по квадратам коммутирующих потоков. Скобка Пуассона, связанная с метрикой постоянной кривизны (скобка Мохова-Ферапонтова). Конформно-плоская метрика. Коразмерность два.

5. Дисперсионные уравнения, имеющие гамильтоново или лагранжево представление, или достаточный запас законов сохранения. Построение периодических решений. Уравнение Лакса-Новикова. Метод усреднения Уизема. Гамильтонова структура усредненных уравнений. Усреднение многомерных дисперсионных уравнений. Усреднение интегрируемых дисперсионных уравнений. Алгебро-геометрический подход. Гиперэллиптические римановы поверхности. Уравнение Эйлера-Дарбу-Пуассона. Усреднение уравнений Боннэ (Син-Гордон), Кортевега де Фриза и нелинейного уравнения Шредингера. Инварианты Римана. Построение плоских координат.

6. Классификация полугамильтоновых систем гидродинамического типа. Классификация криволинейных сопряженных систем координат. Егоровские системы. Слабонелинейные системы. Системы класса Темпля. Мультигамильтоновы структуры. Локальные операторы симметрии.

7. Преобразования сопряженных систем координат и полугамильтоновых систем гидродинамического типа. Обобщеное Ф-преобразование. Преобразование Лапласа. Преобразование Леви. Обратное преобразование Леви. Преобразование Мутара. Преобразование Гурса. Преобразование по решению. Обобщеное преобразование по решению.

8. Ортогональные системы координат. Егоровские системы гидродинамического типа. Уравнения ассоциативности.

Интегрируемые гидродинамические цепочки и бесстолкновительные кинетические уравнения типа Власова.

1. Гидродинамическая цепочка Бенни. Кинетическое уравнение Власова. Гамильтонова структура. Лиувиллевы координаты. Плоские координаты. Импульсное пространство. Классическая дифференциальная геометрия в импульсном пространстве. Законы сохранения и коммутирующие потоки. Гидродинамические редукции. Уравнение Лёвнера. Система уравнений Гиббонса-Царева. Частные решения.

2. Классификация интегрируемых егоровских гидродинамических цепочек.

3. Локальные гамильтоновые структуры (условия существования Гринберг-Дорфман). Лиувиллевы координаты. М-скобки Пуассона. Линейные скобки Пуассона (скобки Дорфман). Описание гамильтоновых интегрируемых гидродинамических цепочек, связанных со скобками Дорфман. Новое нелокальное кинетическое уравнение для солитонного газа.

Интегрируемые многомерные квазилинейные системы уравнений в частных производных первого порядка.

1. Связь интегрируемых многомерных квазилинейных систем уравнений в частных производных первого порядка и кинетических уравнений типа Власова.

2. Классификация интегрируемых трехмерных двух-компонентных систем гидродинамического типа. Классификация интегрируемых трехмерных квазилинейных уравнений в частных производных второго порядка.

3. Квантование интегрируемых трехмерных квазилинейных систем уравнений в частных производных первого порядка.