На главную страницу НМУ

Леонид Посицельский

Кошулева двойственность

Целью курса является доказательство производной D-\Omega двойственности, т.е., эквивалентности производной категории D-модулей на гладком алгебраическом многообразии и копроизводной категории DG-модулей над DG-алгеброй де Рама на том же многообразии. По ходу курса предполагается разобрать материал, на который этот результат опирается -- идеи, связанные с квадратичными алгебрами и их неоднородными обобщениями, коалгебрами и комодулями, и экзотическими производными категориями.

Примерная программа:

  1. Квадратичные алгебры и квадратичная двойственность. Кошулевы алгебры. Дистрибутивные решетки.

  2. CDG-алгебры. Неоднородная квадратичная двойственность. Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта. Примеры.

  3. Квадратичная двойственность над базовым кольцом. D-\Omega двойственность.

  4. Двойственность Бернштейна-Гельфанда-Гельфанда. Производная кошулева двойственность в общем виде: постановка задачи.

  5. Коалгебры, комодули и контрамодули. Производные категории второго рода. Построение производной кошулевой двойственности/тройственности.

  6. Квазидифференциальные кокольца. Производная D-\Omega двойственность.
Предварительные сведения:
для понимания первой половины курса нужно знать гомологическую алгебру вплоть до функторов Ext и Tor, а также спектральных последовательностей.
Во второй половине потребуется знакомство с производными категориями.
Кроме того, будут использоваться базовые сведения из алгебраической и дифференциальной геометрии (гладкие алгебраические многообразия, дифференциальные операторы, связность и кривизна).

Литература:

1. A.Polishchuk, L.Positselski. Quadratic Algebras. University Lecture Series 37, American Math. Society, 2005.
http://www.ams.org/bookstore?fn=20&arg1=ulectseries&item=ULECT-37

2. Л.Е. Посицельский. Неоднородная квадратичная двойственность и кривизна. Функциональный Анализ и его Приложения 27, #3, стр. 57-66, 1993.
http://mi.mathnet.ru/rus/faa/v27/i3/p57

3. L.Positselski. Two kinds of derived categories, Koszul duality, and comodule-contramodule correspondence. To appear in Memoirs AMS.
http://dx.doi.org/doi:10.1090/S0065-9266-2010-00631-8 , http://arxiv.org/abs/0905.2621 . Sections 3, 4, 6, 7, Appendices A-B.

4. L.Positselski. Homological algebra of semimodules and semicontramodules: Semi-infinite homological algebra of associative algebraic structures. Appendix C in collaboration with D.Rumynin; Appendix D in collaboration with S.Arkhipov. Monografie Matematyczne 70, Birkhauser/Springer Basel, 2010.
http://www.springer.com/birkhauser/mathematics/book/978-3-0346-0435-2 ,
http://arxiv.org/abs/0708.3398 . (Рекомендуется пользоваться более полной книжной версией, содержащей подробный терминологический указатель и список обозначений.) Section 0.4, Chapter 11.

Rambler's Top100