На главную страницу НМУ
И.В. Вьюгин
Линейные аналитические дифференциальные уравнения и изомонодромные
деформации
Спецкурс частично развивает предыдущий,но я планирую сделать его независимым.
Я бы считал, что это курс для 3-5 курса и тех, кто захочет.
От слушателей требуется знание комплексного анализа и основ теории обыкновенных дифф.
уравнений.
Цель этого курса представить достаточно подробное изложение локальной теории систем
линейных аналитических дифференциальных уравнений в
окрестности как регулярной, так и иррегулярной особой точки \cite{Bo},\cite{Vas}. Затем
перейти к изучению метода изомонодромных деформаций и
его применению к некоторым нелинейным уравнениям математической физики. Планируется
затронуть такие вопросы, как описание асимптотического
поведения решений, отыскание алгебраических решений и описание дискретных реобразований
решений уравнений изомонодромных деформаций [1], [3].
На странице И.В.Вьюгина в ИППИ РАН имеется дополнительная информация.
Программа курса
-
Часть 1. Локальная теория.
-
1. Системы линейных дифференциальных уравнений в комплексной области (представление
монодромии, типы особых точек).
-
2. Фуксовы системы. Левелевское разложение для фундаментальной матрицы в окрестности
регулярной особой точки. Теорема Левеля.
-
3. Иррегулярные особые точки. Формальное решение линейной системы в иррегулярной особой
точке.
-
4. Асимптотичность формального решения. Данные Стокса. Преобразование Лапласа линейных
систем.
Часть 2. Глобальная теория линейных систем на сфере Римана. Изомонодромные
деформации.
-
5. Глобальные свойства линейных систем на сфере Римана. Проблема Римана--Гильберта.
-
6. Понятие изомонодромной деформации. Уравнение Шлезингера.
-
7. Связность в векторном расслоении, подход к решению проблемы Римана--Гильберта и
описанию изомонодромных деформаций.
-
8. Фуксовы системы $2\times 2$ с четырьмя особыми точками. Уравнение Пенлеве 6.
-
9. Понятие изомонодромной (изостоксовой) деформации линейной системы с иррегулярными
особыми точками.
-
10. Сведение некоторых нелинейных уравнений (Пенлеве 5 и еще какого-нибудь одного) к
уравнениям изомонодромных деформаций.
Список литературы:
[1] А.А. Болибрух, Обратные задачи монодромии в аналитической теории дифференциальных
уравнений, МЦНМО, 2009.
[2] В. Вазов, Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных
уравнений, Мир, 1968.
[3] А.Р. Итс, А.А. Капаев, В.Ю. Новокшенов, А.С. Фокас, Трансценденты Пенлеве. Метод
задачи Римана, R&C Dynamics, 2005.
