В.А.Желиговский

Спецкурс (2-5 курс)

ДЛИННОМАСШТАБНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Спецкурс посвящен рассмотрению задач устойчивости МГД режимов к возмущениям, в которых присутствуют большие пространственные и временные масштабы. Наличие малого параметра - отношения характерных пространственных масштабов возмущаемого состояния и возмущения - позволяет исследовать эти задачи с помощью асимптотических методов.
В спецкурсе будет дано понятие о математических методах усреднения для эллиптических и параболических задач и будут даны примеры применения этих методов для вывода уравнений эволюции усредненных возмущений.
Будут рассмотрены задачи длинномасштабного кинематического магнитного динамо, гидродинамической и МГД устойчивости к длинномасштабным возмущениям в линейной и слабо нелинейной постановках, и будет показано, как в них возникают различные физические эффекты, свойственные многомасштабным (магнито)гидродинамическим системам: альфа-эффект, вихревая (турбулентная) диффузия, вихревая адвекция, кубическая нелинейность.

Спецкурс опирается на материал монографии В.А.Желиговский, "Математическая теория устойчивости магнитогидродинамических режимов к длинномасштабным возмущениям", УРСС/Красанд, 2010.

Особенность предлагаемого спецкурса - большее, чем у большинства спецкурсов по математике, внимание к физическим (гидродинамика, магнитогидродинамика, геофизика) приложениям. Спецкурс предназначен для студентов 2-5 курса. Наличие каких-либо предварительных специальных знаний по его теме не предполагается; весь необходимый материал, не входящий в стандартную программу по математике первых трех семестров механико-математического факультета, будет рассказан. Студентам, проявившим интерес к тематике спецкурса, могут быть предложены темы для выполнения курсовых и дипломных работ.

Спецкурс был прочитан в зимнем семестре 2009 г. на физическом факультете МГУ.

ПРОГРАММА СПЕЦКУРСА:

Усреднение в пространственно-периодических системах: изложение основных математических идей на примере задачи о переносе пассивного скаляра. Усиление молекулярной диффузии вихревой диффузией.
Понятие о кинематическом магнитном динамо. Асимптотическое разложение магнитных мод, генерируемых короткомасштабным периодическим по времени течением проводящей жидкости. Компактность адвективного слагаемого в операторе магнитной индукции и ядро этого оператора. Теорема об альтернативе Фредгольма, условия разрешимости вспомогательных задач. Понятие о магнитном альфа-эффекте. Сверхэкспоненциальный рост магнитного поля при наличии альфа-эффекта.
Полное формальное асимптотическое разложение магнитных мод, генерируемых короткомасштабным центрально-симметричным течением проводящей жидкости. Магнитная вихревая диффузия. Метод вычисления вихревых коэффициентов. Явление отрицательной магнитной диффузии.
Задача о слабо нелинейной гидродинамической устойчивости. Вывод уравнения эволюции усредненного по малым масштабам длинномасштабного возмущения пространственно-периодического центрально-симметричного течения вязкой несжимаемой жидкости. Вихревая адвекция.
* Вывод уравнения среднего поля для слабо нелинейных возмущений пространственно-периодических симметричных режимов вынужденной МГД конвекции в слое с вращением вблизи бифуркации Хопфа. Одновременное присутствие магнитного и кинематического альфа-эффектов и комбинированной вихревой диффузии.
* Вывод уравнения среднего поля для слабо нелинейных возмущений пространственно-периодических симметричных режимов вынужденной МГД конвекции в слое с вращением вблизи вилочной бифуркации. Кубическая нелинейность уравнения среднего поля.
Жордановы клетки у оператора линеаризации для свободной МГД конвекции в слое с вращением. Амплитудные уравнения для описания эволюции длинномасштабного возмущения.
Альфа-эффект в задаче кинематического динамо для течения с внутренним пространственным масштабом. Формальное асимптотическое разложение магнитных мод и соответствующих собственных значений. Доказательство асимптотической сходимости построенных степенных рядов.

Темы, помеченные *, будут прочитаны, если позволит время.