Сергей Саидмузафарович Акбаров

Стереотипные пространства, алгебры и геометрии

Экзамен

Экзамен будет проходить 13 мая с 17:30 в ауд. 303.

Список тем в экзамену по курсу:

Оболочка, отпечаток и узловое разложение в категории. Связи между этими объектами.
Моноидальные категории. Симметрические категории. Законы когерентности.
Моноиды, комоноиды и алгебры Хопфа в моноидальных категориях. Теорема о произведении моноидов. Группы в декартовых категориях.
Замкнутые моноидальные категории. Внутреннее умножение. Теорема о представлении моноида.
Относительные категории. Носитель относительной категории. Функторы между относительными категориями и их естественные преобразования.
Локально выпуклые пространства. Псевдопополнение и псевдонасыщение.
Стереотипные пространства. Подпространства, фактор-пространства и пространства операторов. Свойства категории стереотипных пространств.
Стереотипные алгебры и стереотипные алгебры Хопфа.
Непрерывная оболочка. Теорема о непрерывной оболочке подалгебры в ${\mathcal C}(M)$.
$C^*$-рефлексивные алгебры Хопфа. $C^*$-рефлексивность алгебры ${\mathcal C}^\star(G)$ мер с компактным носителем на группе Мура.
Преобразование Фурье на абелевой локально компактной группе как $C^*$-оболочка. Теорема о продолжении двойственности на группы Мура.
Расслоения локально выпуклых пространств. Расслоение струй. Дифференциальные операторы на модулях и морфизмы расслоений струй.
Алгебры степенных рядов с коэффициентами в $C^*$-алгебрах. Системы частных производных. Условия дифференциальности частных производных.
Гладкая оболочка. Теорема о гладкой оболочке подалгебры в ${\mathcal E}(M)$. Теорема Нахбина.
$C^\infty$-рефлексивные алгебры Хопфа. $C^\infty$-рефлексивность алгебры ${\mathcal E}^\star(G)$ распределений с компактным носителем на компактно порожденной группе Ли-Мура.
Преобразование Фурье на компактно порожденной абелевой группе Ли как $C^\infty$-оболочка. Теорема о продолжении двойственности на компактно порожденные группы Ли-Мура.
Оболочка Аренса-Майкла. Теорема Пирковского.
Голоморфно рефлексивные алгебры Хопфа. Голоморфная рефлексивность алгебры ${\mathcal O}^\star(G)$ аналитических функционалов на компактно порожденной комплексной группе Ли с алгебраической компонентой единицы.
Преобразование Фурье на компактно порожденной абелевой комплексной группе Ли как оболочка Аренса-Майкла. Теорема о продолжении двойственности на компактно порожденные комплексные группы Ли с алгебраической компонентой единицы.

Программа курса:

Оболочка, отпечаток и узловое разложение в категории. Моноидальные категории. Относительные категории.
Локально выпуклые пространства. Псевдопополнение и псевдонасыщение. Стереотипные пространства. Подпространства, фактор-пространства и пространства операторов. Свойства категории стереотипных пространств.
Стереотипные алгебры и стереотипные алгебры Хопфа.
Двойственность в топологии: паракомпактное локально компактное пространство $M$ и алгебра ${\mathcal C}(M)$ непрерывных функций на нем, локально компактная группа $G$ и связанные с ней алгебры Хопфа ${\mathcal C}^\star(G)$ и ${\mathcal K}(G)$, непрерывная оболочка и функтор двойственности, преобразование Фурье, как непрерывная оболочка.
Двойственность в дифференциальной геометрии: гладкое многообразие $M$ и алгебра ${\mathcal E}(M)$ гладких функций на нем, группа Ли $G$ и связанные с ней алгебры Хопфа ${\mathcal E}^\star(G)$ и ${\mathcal F}(G)$, гладкая оболочка и функтор двойственности, преобразование Фурье, как гладкая оболочка.
Двойственность в комплексном анализе: многообразие Штейна $M$ и алгебра ${\mathcal O}(M)$ голоморфных функций на нем, группа Штейна $G$ и связанные с ней алгебры Хопфа ${\mathcal O}^\star(G)$ и ${\mathcal O}_{\exp}(G)$, оболочка Аренса-Майкла и функтор двойственности, преобразование Фурье, как оболочка Аренса-Майкла.
Нерешенные вопросы.