Аркадий Борисович Скопенков

ГОМОТОПИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ МНОГООБРАЗИЙ

Аннотация

. Для многообразий важнейшие методы алгебраической топологии наибо- лее наглядны. Это позволяет быстро добраться до по-настоящему интересных и сложных результатов. На спецкурсе изучается один из основных объектов алгебраической тополо- гии, полезнейший для ее приложений. Это множество гомотопических классов непрерывных отображений одного многообразия в другое. Оно изучается на примере применений к важ- ным проблемам классификации многообразий и зацеплений. В частности, будут изучены два знаменитых примера: нестандартной 7-мерной сферы (Милнор) и зацепления двух 3-мерных сфер в 6-мерном пространстве (Уайтхед). Хотя многие излагаемые результаты касаются n- мерных многообразий, основные идеи преподносятся на примерах размерности не более трех. Для изучения спецкурса достаточно знакомства с основами топологии двумерных много- образий и с гомотопической классификацией отображений окружности в себя. (И то, и другое изучают в первом семестре топологии в НМУ.) Определение групп гомологий естественно появится при решении указанных проблем и потому его не обязательно знать заранее. В то же время для тех, кто уже изучал теорию гомологий, ее применение к конкретным задачам обычно оказывается нетривиальным и интересным. Основная часть материала будет изучаться в виде решения задач участниками (с по- дробными указаниями и последующим разбором на занятии). Будут предложены красивые задачи для исследования.

Программа

Три классические проблемы топологии. Нестандартные сферы Милнора. Зацепление Уайтхеда.
Конструкция Понтрягина: оснащенные многообразия и их кобордизмы. Гомотопиче- ская классификация отображений многообразия в окружность, n-мерного многообразия в n-мерную сферу (Хопф) и (n+1)-мерного многообразия в n-мерную сферу (Хопф-Понтрягин- Фрейденталь-Стинрод-Ву). Гомотопическая классификация ненулевых касательных вектор- ных полей на многообразиях. Реализация подмногообразиями целочисленных циклов кораз- мерности 1.
Гомотопическая классификация отображений многообразия в бесконечномерные проек- тивные пространства (вещественное и комплексное). Реализация подмногообразиями циклов коразмерности 1 и 2.
Абсолютные и относительные и гомотопические группы. Коэффициенты зацепления в гомотопических группах. Точные последовательности пары и Баррата-Пуппе (корасслое- ния). Классификация Хефлигера зацеплений.
(Видимо, часть этого пункта будет повторением.) Гомологии многообразий. Пересе- чение в гомологиях многообразий. Двойственность Пуанкаре (простая и сложная части). Двойственность Александера. Гомоморфизм Гуревича и теорема Гуревича. Теорема Уайт- хеда о гомотопической эквивалентности. Гомотопический тип дополнения многообразия в евклидовом пространстве.
Теорема Фрейденталя о надстройке. Произведение Уайтхеда и сложная часть теоремы Фрейденталя.
Эйлерова характеристика - инвариант кобордизма. Сигнатура инвариант ориенти- рованного кобордизма. Аддитивность сигнатуры. Классификация маломерных многообразий с точностью до кобордизма (формулировка).
Геометрическое определение характеристических классов Штифеля-Уитни и Понтря- гина. Числа Штифеля-Уитни и Понтрягина - инварианты кобордизма. Теорема Тома о клас- сификации многообразий с точностью до кобордизма (формулировка).
Теорема Хирцебруха о сигнатуре для 4- и 8-мерных многообразий. Набросок доказа- тельства. Применение: инвариант Милнора 7-мерных гомотопических сфер.
* Классификация оснащенных узлов и тел с ручками. Инвариант Хефлигера.

Литература

. [FF89] А. Т. Фоменко и Д. Б. Фукс, Курс гомотопической топологии, Москва, Наука, 1989.
[KM63] M. Kervaire and J. W. Milnor, Groups of homotopy spheres, I, Ann. of Math. 77 (1963), 504?537.
[P04] В. В. Прасолов, Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии, Москва, МЦНМО, 2004, http://www.mccme.ru/prasolov
[P06] В. В. Прасолов, Элементы теории гомологий, http://www.mccme.ru/prasolov
[S] А.Б. Скопенков, Алгебраическая топология с элементарной точки зрения, Москва, МЦНМО, в печати, http://arxiv.org/abs/math/0808.1395.