Дмитрий Челкак

ДИСКРЕТНЫЙ КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ

АННОТАЦИЯ:

Курс не требует серьезных предварительных знаний, хотя знакомство с базовыми результатами стандартного курса теории функций комплексной переменной будет очень полезно. В первой части мы обсудим классические результаты соответствующей дискретной теории. Вторая часть посвящена «дискретизации» аппарата геометрической теории функций, позволяющего связывать геометрические и аналитические характеристики плоских областей. Результаты второй части можно рассматривать и как введение в классическую «непрерывную» теорию.

Примерное содержание:

Дискретно-гармонические функции на квадратной решетке. Краевая задачи Дирихле. Интерпретация в терминах случайного блуждания. Единственность решения задачи Дирихле. Слабая оценка Берлинга и равномерная гельдеровость дискретно-гармонических функций. Сходимость решений дискретной задачи Дирихле к решениям непрерывной задачи (варианты: сходимость областей по Хаусдорофу/Каратеодори).
Факторизация дискретного лаплассиана. Дискретно-аналитические функции (два варианта: градиент гармонической функции/пара гармонически-сопряженных функций). Дискретная формула Грина. Функция Грина и ядро Коши - построение и асимптотики. Равномерная липшицевость гармонических функций внутри области (оценка Гарнака) и сходимость всех дискретных производных.
[OPTIONAL] Возможные обобщения. Изорадиальные графы/ромбические решетки. Определения дискретных операторов, свойство аппроксимации, построение свободной функции Грина и ядра Коши и их асимптотика (теорема Kenyon'а). Произвольные взаимно-ортогональные планарные графы и cotangent-Laplacian на них: обзор известных результатов и открытых вопросов.
Аналоги классических конформных инвариантов четырехсторонника: стат. сумма случайного блуждания между противоположными сторонами и двойные отношения. Теорема о факторизации гармонической меры и ее следствия (двусторонние оценки для разных двойных отношений, связь двойного отношения и полной стат. суммы блужданий).
Экстремальная длина. Определение через решение экстремальной задачи. Определение в терминах решения смешанной краевой задачи (случайные блуждания с отражениями). Равносильность определений. Свойство дуальности. Двусторонние оценки, связывающие двойные отношения, стат. суммы и экстремальные длины. Оценка типа Карлемана для гармонической меры «далекой» дуги.