На главную страницу НМУ

Дмитрий Челкак

КОНФОРМНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ КОРРЕЛЯЦИЙ В КРИТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА

АННОТАЦИЯ:

Курс посвящен недавним результатам (C. Hongler, К. Изъюров, С. Смирнов, Д. Челкак, 2007-2012), математически строго устанавливающим конформную инвариантность предельных корреляционных функций в двумерной критической модели Изинга. Мы начнем с комбинаторного определения основного объекта: дискретно-голоморфной наблюдаемой (функции точки внутри дискретной области), которая была предложена С.К. Смирновым в качестве основного инструмента доказательств , после чего проследим за техническими средствами (дискретный комплексный анализ, теоремы сходимости и анализ поведения около особенностей) и модификациями (добавление ветвлений во внутренних точках), необходимыми для доказательства конформной инвариантности предельных корреляционных функций (точнее, конформной ковариантности с показателями 1/8 для поля спинов и 1 для поля плотности энергии). Существенные предварительные знания по теории вероятностей и статистической физике не предполагаются, однако необходимо знакомство со стандартным курсом ТФКП и общее представление о соответствующей «дискретной» теории на квадратной решетке.

Примерное содержание:

  1. Критическая двумерная модель Изинга на квадратной решетке, представление в виде набора интерфейсов. Основная наблюдаемая: комбинаторное определение, свойство сильной дискретной голоморфности как следствие локальных перестроек. Интерпретация граничных значений в терминах полных стат. сумм модели с добрушинскими граничными условиями. Возможность интегрирования квадрата сильно голоморфной функции. Схема доказательства сходимости основной наблюдаемой: анализ граничных условий, априорная регулярность дискретно-голоморфных функций, теоремы сходимости внутри области и на ее границе.

  2. Плотность энергии: модификация основной наблюдаемой (сдвиг «источника» внутрь области) и соответствующая краевая задача. Схема предельного перехода, анализ возникающей непрерывной задачи. Корреляции поля плотности энергии: наблюдаемые с несколькими источниками, пффафианные тождества для наблюдаемых, схема предельного перехода.

  3. Спинорные наблюдаемые: добавление дополнительного ветвления, интерпретация значений на границе как стат. суммы, взвешенной произведением спинов. Существование и единственность решения непрерывной краевой задачи, теоремы сходимости для спинорных наблюдаемых внутри области и на границе. Предельный переход для отношения спиновых корреляций, соответствующих разным граничным условиям.

  4. Интерпретация логарифмических производных спиновых корреляций через значения ветвящихся наблюдаемых около «дискретной сингулярности». Общая схема доказательства сходимости таких производных. Ковариантность с показателем 1/8 при конформных отображениях как непосредственное следствие соответствующей граничной задачи для аналитических функций. Восстановление спиновых корреляций и согласованность мультипликативных нормализаций в разных областях.

  5. [OPTIONAL] Возможные краевые условия для многосвязных областей: от монохроматических к фиксированным (и далее к произвольным +/-).
Rambler's Top100