Михаил Борисович Скопенков и Аркадий Борисович Скопенков

Топология-1

Программа курса:

Обзор наглядных результатов и применений топологии. Графы. Поверхности. Векторные поля. Соображения непрерывности.
Графы на поверхностях. Раскраска карт на поверхностях. Формула Эйлера и неравенство Эйлера. Применения.
Наглядные задачи. Узлы и зацепления. Нетривиальность трилистника.
Топологическая эквивалентность дисков с ленточками. Ориентируемость двумерных многообразий. Классификация двумерных многообразий.
Векторные поля на подмножествах плоскости. Гомотопность ненулевых векторных полей.
Непрерывные отображения. Применение соображений непрерывности и дискретной непрерывности. Гомотопность отображений. Основная теорема топологии о гомотопической классификации отображений окружности в окружность. Следствия: теорема Брауэра о неподвижной точке, основная теорема алгебры. Гомотопическая классификации ненулевых векторных полей на подмножествах плоскости*. Фундаментальная группа.*
Двумерные симплициальные комплексы. Примеры. Кусочно-линейная гомеоморфность. Двумерные многообразия.
Векторные поля на поверхностях. Критерий Эйлера-Пуанкаре существования ненулевого касательного векторного поля на сфере с ручками*. Классификация ненулевых касательных векторных полей на торе*.
Гомологии и форма пересечений двумерного многообразия*. Вычисления*. Применения*. Первый класс Штифеля-Уитни*.

Задачи к 11.02. Это необязательное задание поможет Вам решить, изучать ли этот курс.
Из параграфа 2: 2a, 4a, 7a, 16a. Из параграфа 3: 2ab. Из параграфа 4: 1a. Определение сферы, тора и ленты Мебиуса можно найти в п. 1.6.