Андрей Матвеевич Филимонов

Дифференциальные операторы с частными производными

годовой спецкурс (лекции и семинары)

Программа курса:

Часть 1. Введение в теорию уравнений с частными производными.

Введение. У изучающих уравнения с частными производными в классическом изложении, иногда остается ощущение, что этот предмет состоит, в основном, из глубокого анализа трех основных уравнений второго порядка ("трех китов"). При этом, возможность применения соответствующих идей и методов к уравнениям и системам произвольных порядков, зачастую остается "за кадром". В настоящем курсе предпринята попытка изложения более общего взгляда на предмет, при котором "три кита" выступают в качестве возможных иллюстраций более общих точек зрения. Впрочем, чтобы сделать изложение, по-возможности, замкнутым, в начале курса, для приобретения интуитивной основы, кратко рассматриваются и упомянутые "три кита".

Обзор постановок задач для классических уравнений с частными производными 1).
Постановки основных задач для волнового уравнения, уравнения теплопроводности и уравнения Лапласа. Спектральные задачи. Система Максвелла. Система Навье-Стокса. Обзор некоторых методов решения (метод бегущих волн, метод стоячих волн, метод функции Грина, вариационные методы). Необходимость введения понятия обобщенного решения. Классификация. Смысл и назначение классификации. Классификация линейных уравнений с частными производными второго порядка (классический подход). Задачи, приводящие к дифференциальным операторам высших порядков по временной и по пространственным переменным (системы "с памятью", континуальные аналоги операторов сдвига). Классификация по Петровскому. Примеры, приводящие к необходимости учета и младших производных. Классификация эволюционных задач по Гельфанду-Петровскому-Шилову (формальный подход - объяснение во второй части курса). Уравнения с частными производными первого порядка.
Задача Коши, характеристическая система. Геометрический смысл уравнений с частными производными первого порядка. Пфаффовы системы и их интерпретация, как уравнений с многомерным временем. Связь с группами Ли. Схема построения общего подхода к УрЧП с использованием аналитических функций многих переменных. Элементы многомерного комплексного анализа. Теорема Ковалевской. Характеристические поверхности. Связь с нелинейными уравнениями первого порядка. Гиперболичность в общем случае. "Бегущие волны" в случае общих гиперболических систем. Волны заданного вида. Корректность постановок задач. Необходимость расширения понятия решения.

Часть 2. Обобщенные решения уравнений с частными производными

Элементы теории обобщенных функций.
Топологические, метрические, счетно-нормированные, нормированные и гильбертовы пространства. Пополнение метрических пространств. Пространства основных и обобщенных функций. Дифференцирование. Порядок сингулярности. Финитные обобщенные функции. Теорема о структуре обобщенных функций. Свертка. Преобразование Фурье. Оснащенные гильбертовы пространства. Секвенциальный подход и другие способы введения обобщенных функций. Можно ли умножать обобщенные функции? Алгебра Коломбо.

Линейные дифференциальные операторы с частными производными.
Фундаментальные функции дифференциальных операторов. Лестница Хёрмандера и теорема о существовании фундаментальной функции. Дифференциальные операторы бесконечного порядка. Классы корректности задачи Коши. Параболичность и гиперболичность по Гельфанду-Петровскому-Шилову. Корректные, условно корректные и аналитически корректные по Петровскому задачи Коши. Гиперболичность по Гордингу и связь с операторами бесконечного порядка. Эллиптичность по Дуглису-Ниренбергу. Пример: стационарный вариант системы Навье-Стокса. Параболические задачи. Проблема единственности, лестница Тэклинда, квазианалитические классы функций. Гипоэллиптичность.

Различные подходы к понятию обобщенного решения.
Обзор различных подходов к понятию обобщенного решения. Вариационный подход. Идеи Гаусса, Дирихле, Римана, Вейерштрасса. Стационарные задачи, слабые решения. Задача о минимуме квадратичного функционала. Подход к обобщенному решению основанный на теореме Хана-Банаха. Соболевские пространства. Следы. Теорема Лакса-Мильграма. Обобщенные решения нелинейных уравнений, приводимых к дивергентной форме. Обобщенные решения нелинейных уравнений, не приводимых к дивергентной форме.

1) В теории линейных уравнений в частных производных наиболее плодотворные методы были выработаны не в процессе рассмотрения отвлеченно поставленной задачи, а скорее при изучении специальных физических проблем; точно так же и теория уравнений нелинейных может, как я полагаю, достигнуть наибольших успехов, если внимание наше со всею тщательностью, с учетом всех побочных условий, направится к специальным проблемам физического содержания. И в самом деле, решение совершенно специальной задачи, являющейся предметом настоящего сочинения, требует новых методов и понятий и приводит к результатам, которые, вероятно, будут играть известную роль и в задачах более общих.
Б. Риман. О распространении волн конечной амплитуды. Геттинген, 1860 г.