Еще в 1950-е А. Д. Александрову удалось выразить важное геометрическое свойства риманова многообразия - знак его кривизны - в виде неравенств для метрики на многообразии, которые имеют смысл в любом метрическом пространстве. Впоследствии эти неравенства были названы CAT-неравенствами, в честь Картана, Александрова и его ученика Топоногова. В работах Александрова и его школы (Громов, Бураго, Перельман и др.) этот подход получил множество применений в разных областях геометрии.
В 1930-е годы Кон-Фоссен доказал метрическими методами классическую теорему Хопфа-Ринова о равносильности полноты и компактности замкнутых шаров в римановых многообразиях. Оказывается, что более абстрактный метрический результат доказывается проще, чем его аналог в теории гладких многообразий.
Другое применение метрических методов - простое доказательство теоремы Картана-Адамара о стягиваемости односвязного полного многообразия неположительной кривизны.
Но особенно плодотворным оказалось применение метрических методов в геометрической теории групп.
Граф Кэли группы с заданным набором образующих есть граф, вершины которого соответствуют элементам группы, а ребра - элементам, которые отличаются на домножение на образующую. Громов предложил изучать дискретные группы, исходя из геометрических свойств их графа. Оказалось, что "отрицательной кривизне" (в смысле CAT-теории) графа Кэли отвечает весьма широкий класс групп; ныне эти группы называются "гиперболическими по Громову".
В число гиперболических групп входят решетки в группах Ли ранга 1, фундаментальные группы пространств отрицательной кривизны, свободные группы и много других. Также гиперболическими являются случайные группы, для разумного определения "случайной группы". Громов доказал, что группа, заданная случайным набором k образующих и m соотношений длины l_1, ..., l_m, является гиперболической с вероятностью, которая стремится к 1, когда l_1, ..., l_m стремятся к бесконечности.
Гиперболические группы лишены многих патологий, которые затрудняют работу с более общими группами. Например, в гиперболических группах алгоритмически разрешима проблема различения слов, которая (как доказал П. С. Новиков) неразрешима в более общих группах.
С каждой гиперболической группой канонически связано конечномерное, компактное топологическое пространство, которое называется ее границей. Если эта группа была фундаментальной группой компактного многообразия постоянной отрицательной кривизны, универсальное накрытие которого можно реализовать как внутренность многообразия с краем dM, то граница группы гомеоморфна dM. Многие свойства гиперболических групп восстанавливаются из топологических свойств ее границы; так, dG гомеоморфно канторовскому множеству тогда и только тогда, когда G содержит свободную подгруппу конечного индекса.
Я изложу основы метрической геометрии по Александрову и Громову, обсужу понятие гиперболичности в метрической геометрии, определю гиперболические группы, и расскажу про применение методов Громова в теории групп.
http://www.ihes.fr/~gromov/topics/topic6.html Infinite groups: curvature, combinatorics, probability, asymptotic geometry
http://www.yann-ollivier.org/rech/index Yann Ollivier, Random groups and geometric group theory
